「二进制补码」补码详解

二进制补码

首先我们来了解下补码的定义，在很多资料上说补码都是从原码说起，但实质上补码是有其定义的：

补码定义：计算机中二进制形式的补数。

这个定义是比较抽象的，下面我将举一些实际的例子来解释。

二进制形式：就是0和1组成的串，例如数字3的二进制形式是11，数字-9的二进制形式是11001。

补数：初中时我们学过互补角，两个角加起来等于180度，则称两个角互补。在日常生活中，将某物体顺时针旋转270度和逆时针旋转90度能达到同样的效果，把时钟里的分钟顺时针调整40分钟和逆时针调整20分钟，分针最后的位置是一样的。这时270是90的补数，90也是270的补数；40和20也同理。

那么计算机中为什么要用补码呢？

因为使用补码可以把减法运算变成加法运算，以此来简化逻辑算术单元设计。现在的计算机里只有加法器，没有减法器。例如7-3可以转换为7+(-3)。为进一步理解，我们再来了解两个定义。

补码计算法定义：非负数的补码是其原码本身；负数的补码是其绝对值的原码最高位符号位不变，其它位取反，再加1。

模定义：一个负整数与其补码的和。

前面提到的270+90=360，360就是模，40+20=60，60就是模。在二进制数中，当位数为n时，模为 $2^{n}$ 。

在二进制位数n为4时，7的原码是0111，补码是0111；

-3的绝对值3的原码是0011，再对其原码求补码得到1101，所以-3用二进制形式为1101。

将两数补码相加，得到0100，换成十进制是4，结果正确。

0111

+ 1101

------------

0100

这里我们注意到两二进制数相加结果为10100，最高位的1因为二进制位数的限制为4，所以被丢弃了。10100=00100+10000，被丢弃是10000，即-16。

我们再根据模的定义得知模等于-3和其补码的和，即模=0011+1101=10000，即-16。

我们再来看-3的补码1101，如果将其当成无符号数来看，再最前面加个0即可当成无符号数，得到01101，转换成十进制得其值为13，此时我们发现7-3的本质是转换成了7+13-16，而-16不是真正的减16，而是丢弃，所以这个式子中就只存在一个加法7+13，这就是计算机把减法转换成加法的本质。

最后再来看看原码的补码为什么取反后要加1，如果不加1，那原码-3（1011）取反后就是1100，不看最高位符号位，我们发现011+100=111，即7，而模为8，也就是说当所有位都为1时还比模少了1，所以最后要加上1。

顺带提一下为什么各数据类型的取值范围负数的绝对值比正数大1，就拿byte来说，其位数为8，最小值是-128（1000000），最大值是127（0111111）。

最大值127是01111111应该很好理解，正数最高位肯定是0，要使数值最大，后面肯定要为1。

最小值-128是10000000。很多人根据最大值127理所当然的想到最小值是-127，而且其二进制为11111111。其实不然，首先11111111不是-127，而是-1，再者，我们来看负数二进制转为十进制的计算方法（任取一个负数10101010）：

(-1)x $2^{7}$ +(0x $2^{6}$ +1x $2^{5}$ +0x $2^{4}$ +1x+0x+1x+0x)

所以，(-1)x $2^{7}$ 加括号里的正数，要使值最小，括号里要为0，所以后，7位要全为0，即10000000。