反相加法器
了解了门，我们就可以做一些实际应用了，计算机的主要目的是计算，而门可以用于计算，所以可以说计算机是由各种不同的门组成。接下来我们要做的就是做一个二进制加法器，因为如果做出加法器，就可以扩展为减法，乘法，除法。而我们如何实现加法器呢？我们这次只使用一些很常见、并且有些落后的部件完成：开关、灯泡、导线、电池、门。
输入为开关，输出为一排灯泡，亮表示1，灭表示0。如果二进制串进行加法，我们肯定会想到一位一位进行加法运算，因此如果有8位二进制数，我们就要分8部运算。通过尝试可以知道，只有当输入为两个1时，进位位才为1，因此符合与门特性，而当输入为两个1或两个0时，加法位才会为0.这个符合异或特性。异或我们怎么用最基本的逻辑门表示呢？我们可以通过两个与非门，一个或门构成。这样就构成了一个半加器。
称为半加器的目的是因为我们没有考虑低位的进位问题，如果考虑了，我们就称为全加器。而全加器是由2个半加器和一个或门组成。
接下来我们谈谈一共要用多少个继电器：
进位位是与门，所以由2个继电器组成。
加法位是一个或门，一个与非门，一个与门组成，所以由6个继电器。
半加器由进位位和加法位组成，则有8个继电器。
全加器由两个半加器和一个或门组成，则有18个继电器。
我们有了全加器，则可以通过级联组成一个二进制串的加法。
但是现在计算机使用的是晶体管，所以需要将继电器换成晶体管。
我们前面实现了加法器，如同我们所说，减法是加法的扩展，所以实现了加法器，只需要稍作修改，就能实现减法，而减法最烦人的就是借位，因此我们就想是否有方法能够避免借位呢？
答案是有的，
（1）当被减数>减数时，设被减数为x，减数为y，假设x和y都是三位十进制数，只需要将x-y=x+(999-y)+1-1000,这个式子看起来很普通，但是就能避免借位问题。因为999-y不可能发生借位，其他的步骤也不可能。
（2）当被减数<减数时，x-y=-(999-(x+(999-y))),这样也能避免借位。
这里我们实现的是二进制的减法，所以类似于上面，
（1）当被减数>减数时，x-y=x+(111-y)+1-1000.
（2）当被减数<减数时，x-y=-(111-(x+(111-y))).
那么知道了方法，利用加法器我们怎么实现它呢?这里我们只实现了第一种情况.
我们把x+(11...1-y)+1-100...0分解开来看，
(1)先是a=11...1-y，这个实际上就是求反，即通过前面所说的反相器。
(2)b=x+(111...1-y)+1,这个只需要前面的加法器即可。
(3)b-100...0这个只需要把最高位忽略掉即可。因为被减数>减数时，最高位肯定为1。
如果我们不能单独做一个减法器，而是把加法器和减法器合并，该怎么做呢？
我们首先要有一个开关，是加法和减法的选择。如果是加法，则按照加法器方式做，如果是减法，则按减法器方式做。
我们设这个选择为x，减法为1，加法为0.把这个位与输入的每个位异或，如果是加法，则输入和输入不便，如果是减法，则输入与输出相反，即对2求补。这就实现了11...1-y的功能。
我们还要设最低进位y,如果是减法，则为1，如果是加法，则为0.这样就解决了x+1+(11...1-y).
我们设最高位为z，如果是加法，输出不变，如果是减法，则输出变为0.我们需要用异或门。即实现了x+(111...1-y)+1-1000..0。
这样我们就实现了减法器与加法器的合并。
接下来介绍几个术语：
（1）设数为x，则999-x为10的补数，则111-x为2的补数。
我们又有一个疑问，怎么表示减法呢？
很多人都知道有原码、反码、补码。
比如111在有符号数时表示的是-1.在无符号数表示的是+3.所以原本的二进制是没有任何含义的，只有给予他上下文，才会有含义。
我们还需要考虑的是有符号数相加时的溢出问题。如果比如011+010=101,原本的正数，变为了负数，因为他超出了补码所能表示的范围。
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