圆周率公式
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在古代，缺少数学技巧的情况下，圆周率的计算是相当困难的，我们国家伟大的数学家，天文学家祖冲之（429-500，字文远），利用复杂的割圆术，将圆周率的计算精确到小数点第七位，这是已经是相当了不起的成就了，直到1000年后才被阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破纪录。
我国古代杰出数学家祖冲之
在牛顿-莱布尼茨发明微积分之后，计算圆周率的巧妙办法更多了，后来虚数的使用，提供了更多巧妙的办法，看到在众多计算圆周的公式，大家是不是很纳闷，那些复杂的公式，数学家是怎么找到的呢？
今天，我就和大家分享一个，利用虚数，求圆周率的万能方法，我们的推导过程，都是初等数学知识。
首先，我们需要漂亮的欧拉恒等式：
欧拉恒等式
然后我们很容易得到：
欧拉恒等式变换后的结果
这个奇怪的恒等式，就是我们生成圆周率级数的万能公式，因为右边的虚数，我们有巧妙的办法转换成无穷级数。
不过你需要拿出一个基础的泰勒级数：
对数的泰勒级数展开式
这个泰勒级数，自变量取复数单位±i，你尽管放心大胆去用。
对数级数赋值
然后我们就可以利用虚数的性质，尽情地操弄数学技巧了，比如lni=ln［（1+i）/（1-i）］=ln（1+i）-ln（1-i），
立马就有：
莱布尼茨级数
这个级数，就是著名的莱布尼兹级数，莱布尼兹在1674年用其他其他非常复杂的办法得到了它，但是用这个级数求圆周率效率太低，因为收敛速度实在太慢了。
我们依葫芦画瓢，再来变换：
对虚数i进行变换
利用同样的技巧后，带入对数级数，立马得到：
圆周率级数
而这个级数收敛相当快，你只要取前四项，就能得到和祖冲之一样的精度。
这个技巧屡试不爽，如果你把前面的2和3，换成5和-239，然后5+i取4次方，就可以得到另外一个收敛非常快的著名公式——梅钦公式，梅钦公式至今仍然是计算机计算圆周率的重要公式之一。
利用梅钦公式，就算手算，你也可以轻松地把圆周率精确到50位；至于如何分解，全在于你对虚数单位i的处理，这样的处理方式有无数个，你得到的圆周率级数也就有无数个，它们的收敛速度不尽相同，不过大家在处理这种正负交错的级数时，要特别小心了，因为条件收敛级数的“炸弹”很多的呢。
圆周率By艾伯史密斯
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