「线性规划法」线性规划算法详解

线性规划法

线性规划

首先什么是线性规划，大致的定义我总结为在线性的目标和约束中，找出一个最优解。

举个例子：

M1和M2两种原料用于生产内外墙涂料，M1日最大可用量24吨，M2日最大可用量为6吨，外墙涂料每吨需要6吨M1，1吨M2，内墙涂料每吨需要4吨M12，吨M2，外墙涂料每吨利润5个单位，内墙涂料每吨利润4个单位。且市场需求调查数据得出，内墙日需求量不超过外墙的日需求量+1吨，内墙最大日需求量为2吨

怎样在这样的各个线性的条件中，得到最优的内外墙生产吨数，就是我们线性规划算法要做的事情。

设外墙生产x1吨,内墙生产x2吨,设利润为z，要得到z的最大化，也就是最优解，上述条件罗列为公式可得出

6x1+4x2<=24
x1+2x2<=6
-x1+x2<=1
x2<=2
x1,x2>0
z=5x1+4x2

如何从这个公式中求出最优解？有以下两大方法

图解法

我们将上述约束条件画图，y轴为x2，x轴为x1，得出如下：

圈红色的部分就是所有的可行解，表示这个区间内都的x1x2能满足约束条件

对于我们的z函数，其实表示的是一条截距为z斜率为-(5/4)的线性直线，我们要求z最大化的最优解，就是在所有的可行区域内找到可以满足z曲线截距最大的点。

最后我们发现，可行区域内能让z函数达到最大截距的点就是我圈出来的那个角点，z再增大的话，就超出可行区域了，所以不满足要求，所以最终得出最优解为x1=3,x2=1.5

这就是图解法的做法，一个定理就是，线性规划的最优解总是发生在约束几何平面的角点上，例如上面圈出来的点，先当做是个定理，我也不知道怎么证明这个定理。

以上就是线性规划的图解法，优点是简单明了，缺点就是当参数超过3个时，我们很难直观画出一个jihe几何平面来找角点，所以我们需要下面的另一种解法。

单纯形法

当超过3个参数时，单纯形法就派上用场了，单纯形法首先要做的就是把方程化为标准形式：

所有的变量都是非负数
所有的约束都是等式(非负限制除外)，且具有非负的右端项

像上述的方程，如果化为标准形式，将会是如下

6x1+4x2+s1=24
x1+2x2+s2=6
-x1+x2+s3=1
x2+s4=2
z=5x1+4x2+0s1+0s2+0s3+0s4

新加入的s1-4表示的是松弛变量(非负)，根据大于号小于号来决定他们的正负号

对于标准化形式，我们设有n个参数，设列举出的约束方程个数m，当m=n时，方程组就只有唯一的解，当m<n时，说明有无穷个可行解，也就是解是一个区域。

例如y=x+1单独这个约束方程，那么可行解就是这条直线上的所有点，这个就是m=1,n=2的情况，如果再加上一个方程使得m=2，例如y=-x,则是唯一的解了，解为(-0.5,0.5)

由上面的定理，最优可行解必然出现在几何空间上的角点

几何角点的代数定义

对于一个m*n的方程组，我们另n-m个变量为0，再去在m个方程中求出其余的m个变量的值，如果有可行解，则这m个变量得出的点就是这个超几何平面的角点。

例如y=x+1,xy都非负，这里m=1我们就有两种角点情况，一种是x=0的角点，一种是y=0的角点，画图上便可只管看出。对于超3维的几何面也是如此类推，虽然我不知道如何直观证明，但这就是个定理。

所以我们线性规划最终zu做的事就是，找出适合的角点，并代入最优的z方程，哪个得出的z最优，哪个角点就是我们的最优解！

但当参数十分多时，角点的数量就十分庞大，所以我们需要一个智能的搜索过程，来寻找出最优角点的位置。

进基离基

我们每一次的寻找角点称之为迭代，每一次我们都从原点，也就是非松弛变量全为0的时候开始

我们称令(n-m)个变量为0的这些变量为非基变量，令其余的m个变量为基变量。

从原点开始，我们计算完z值后，就要选择下一个角点来计算z，那么就需要迭代，选择一个基变量进行离基操作，并选择一个非基变量代替它，进行进基操作，从而得到下一个角点来计算z。

对于如何选择进基变量和离基变量，我们遵照如下条件

最优条件确定进基变量，在z方程上，选择一个能让z最可能往最优方向发展的变量进基，例如max z=3x1+5x2，x2的系数更高，x2非基(即非0)的话更能使z趋于最大化。

可行性条件确定离基变量，找出约束最小的那个进行离基，因为超过最小约束表明有约束不满足了，所以不能再往外扩展了。(具体操作是进行最小非负比计算，后面会继续讲)

通过这两个条件，我们就可以不用暴力穷举出所有的角点进行z计算，大大减少了计算量，最后直到无最优条件可选了，再迭代时z反而会适得其反时，最优解已经得到了，求解完成。

高斯-若尔当行运算

上面讲述的只是单纯形法的思路，具体的计算步骤就是高斯-若尔当行计算

回到上面的原料公式:

6x1+4x2+s1=24
x1+2x2+s2=6
-x1+x2+s3=1
x2+s4=2
z=5x1+4x2+0s1+0s2+0s3+0s4

由于最初我们从原点开始，所以基变量是s1-4，我们把基变量写在左侧则为

s1=24-6x1-4x2
s2=6-x1-2x2
s3=1-x2+x1
s4=2-x2

右边的系数为非基变量，左边为基变量，因为非基变量为0，所以左边的基变量的解值就是右边的常系数，也就是截距

x1的系数为5 最能达到z最大化 x1在s1的方程中系数为-6,s1行的解值/进基变量系数的非负比最小(24/6 这里为了明显显示基变量，所以把一些参数挪到了右边，挪到左边过来就是6而不是-6，这个比值代表了新的角点的截距)，所以选择x1进基，s1出基

假设我们错误的选择了s2离基，那么xi新角点上，x1的值就是6,而x1等于6超过了约束，因为24-6*6<0，而s1是非负的，所以必须选择最小非负比进行离基。

以s1离基，x1进基其实就是把右边的变量挪到左边以达到左边全基，右边全非基，也就是用x1去替代s1，s1也替代x1,以得出

x1=4-(1/6)s1-(2/3)x2
s2=2+(1/6)x1-(4/3)x2
s3=5-(1/6)s1-(5/3)x2
s4=2-x2

这就是我们手动完成的一次进基出基操作，现在基变量在左边为x1和s2-4，解分别为4,,2,5,2,剩下的为非基变量,我们可以就此解出新的z

这是我们手算的进基离基，当参数非常庞大的时候，手算十分蛋疼，所以我们需要得出一个规律,然后可以进行编程让计算机运算。这个运算规律就叫高斯-若尔当行运算

首先要把各个参数转到一个矩阵里，换位标准形式的原料公式的矩阵如下，一个规律是z行基本变量系数均为0

基变量	z系数	x1系数	x2系数	s1系数	s2系数	s3系数	s4系数	解值
z	1	-5	-4	0	0	0	0	0
s1	0	6	4	1	0	0	0	24
s2	0	1	2	0	1	0	0	6
s3	0	-1	1	0	0	1	0	1
s4	0	0	1	0	0	0	1	2

z不属于基变量但为了方便表示还是写在了一起

高斯若尔当行运算规则，根据这个矩阵，选出进基离基变量后

进基变量所在列为枢纽列，离基变量所在行为枢纽行，行列交叉位置为枢纽元素，例如我上面标蓝色的6

对于迭代后的新枢纽行的计算规则为:在基列中，以进基变量替换离基变量，新的枢纽行=当前枢纽行/枢纽元素
其他所有行，包括Z行的计算规则为，新的行=当前行-当前行枢纽列的系数*新的枢纽行

其实这只是对我们刚才的手算的一个推导整理，上述矩阵进行一次迭代后如下

基变量	z系数	x1系数	x2系数	s1系数	s2系数	s3系数	s4系数	解值
z	1	0	-2/3	5/6	0	0	0	20
x1	0	1	2/3	1/6	0	1	0	4
s2	0	0	4/3	-1/6	1	0	0	2
s3	0	0	5/3	1/6	0	1	0	5
s4	0	0	1	0	0	0	1	2

对比我们刚手算的迭代你可以看到规律

x1=4-(1/6)s1-(2/3)x2
s2=2+(1/6)x1-(4/3)x2
s3=5-(1/6)s1-(5/3)x2
s4=2-x2

一直不停循环迭代直到没有最优条件时，z就是最优解，基变量的值，也就是解，在最后的最优解中，松弛变量如果大于0，说明该资源是充足的，如果等于0说明该资源是匮乏的

至此我们的线性规划代数解法就完成了绝大部分

特殊情况

上面讲述的是基本通用的线性规划解法，但存在一些特殊情况需要特殊处理

无法直接标准化

当所有约束都是<=或者>=时，进行标准化直接加上松弛变量即可，但存在一些既有<=又有=，>=的方程时，就会出现个别的方程没有松弛变量，这时就出现了无法标准化的坏状态。

做法是在没有松弛变量的行里加入人工变量Ri，并在z函数中给人工变量加一个惩罚系数M，M为无穷大或无穷小(根据z是max还是min决定)，使人工变量在一次次迭代后化为0，若化不为0，说明无解。

这里需要进行两个阶段

第一个阶段

先不求z，而是求min r=人工变量和若能产生r=0 则这个阶段产生了基本可行解，人工变量可以直接去掉然后进入第二阶段

第一步min r行的计算，就会遇到z行(这里是r行)基本变量系数不为0的情况，会导致z行等式不成立，所以第一步要先进行替换(假设人工变量有R1 R2两个)

正确r行=原始r行+(1*R1行+1*R2行) 进行系数化0

最后r=0时，得到的基本解，人工变量必须是非基本解，才能完全不让他进入第二阶段，万一出现人工变量为基本解但值为0导致得出r=0时，需要再选择一个0基本人工变量进行离基，选择任意一个非人工非基变量进行进基，直到迭代到所有0人工变量do都被去掉。

第二阶段

开始求z行阶段一最后一步得出的基本变量继续作为阶段二的基本变量

同样 如果出现z行基本变量系数不为0，会导致z行等式不成立，需要进行系数化0，新行=旧行+(对应非零系数*对应基本变量行)

最后再一次迭代即可进行求z最优解

个人觉得人工变量是比较复杂而且特殊步骤比较多的，我后面会继续完善例子

退化

两次以上得出z的值是相同的，则为退化现象，退化有时候会产生死循环的可能，退化的出现意味着至少有一个基变量在下一次迭代中变为0，基变量出现0会导致最小非负比循环出现(都是0)，而且z的下次迭代继续保持原值。

实际生活的条件约束中，出现一直死循环的情况很少，几乎不会发生。

无穷多个解

按图解法来看，当z的斜率和某个边界线的斜率相同时，则会出现一段直线上的点都是最优解，即是无穷多个解

按代数法的思路，就是出现非基变量的系数为0，这种情况下，这个非基变量可以随意进基但不改变z值，但会改变各个变量系数，这同样表现出有无限多个解的情况

无界解

按图解法来看，就是有个地方没有约束，z可以不断增加或者减少下去

代数法上的表现是，最小非负比不存在，无法选择离基变量，解和系数的比值都是0或负数，导致可以无限增大进基变量而不破坏约束，也就是无界的情况

不可行解

人工变量>0

总结

以上是我对线性规划的理解，纯手打，篇幅较大，如果有什么理解错误或者改进欢迎留言。后续我会继续完善一些例子以便理解和编写相应的代码实现。

线性规划算法详解