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模拟退火算法

时间:2019-07-22 16:42:11来源:IT技术作者:seo实验室小编阅读:83次「手机版」
 

模拟退火算法

 

引言

在实际日常中,人们会经常遇到如下问题:在某个给定的定义域X内,求函数f(x)对应的最优值。此处以最小值问题举例(最大值问题可以等价转化成最小值问题),形式化为: 

\underset{x\in\chi }{min}f(x)

如果X是离散有限取值,那么可以通过穷取法获得问题的最优解;如果X连续,但f(x)是凸的,那可以通过梯度下降等方法获得最优解;如果X连续且f(x)非凸,虽说根据已有的近似求解法能够找到问题解,可解是否是最优的还有待考量,很多时候若初始值选择的不好,非常容易陷入局部最优值。

随着日常业务场景的复杂化,第三种问题经常遇见。如何有效地避免局部最优的困扰?模拟退火算法应运而生。其实模拟退火也算是启发式算法的一种,具体学习的是冶金学中金属加热-冷却的过程。由S.Kirkpatrick, C.D.Gelatt和M.P.Vecchi在1983年所发明的,V.Čern在1985年也独立发明此演算法。

不过模拟退火算法到底是如何模拟金属退火的原理?主要是将热力学的理论套用到统计学上,将搜寻空间内每一点想像成空气内的分子;分子的能量,就是它本身的动能;而搜寻空间内的每一点,也像空气分子一样带有“能量”,以表示该点对命题的合适程度。演算法先以搜寻空间内一个任意点作起始:每一步先选择一个“邻居”,然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。若概率大于给定的阈值,则跳转到“邻居”;若概率较小,则停留在原位置不动。


一、模拟退火算法基本思想

模拟退火其实也是一种贪心算法,但是它的搜索过程引入了随机因素。在迭代更新可行解时,以一定的概率来接受一个比当前解要差的解,因此有可能会跳出这个局部的最优解,达到全局的最优解。以下图为例,假定初始解为左边蓝色点A,模拟退火算法会快速搜索到局部最优解B,但在搜索到局部最优解后,不是就此结束,而是会以一定的概率接受到左边的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达全局最优点D,于是就跳出了局部最小值。 

根据热力学的原理,在温度为T时,出现能量差为dE的降温的概率为p(dE),表示为:

p(dE)=exp(\frac{dE}{kT})

其中k是波尔兹曼常数,值为k=1.3806488(13)×10−23,exp表示自然指数,且dE<0。因此dE/kT<0,所以p(dE)函数的取值范围是(0,1)。满足概率密度函数的定义。其实这条公式更直观意思就是:温度越高,出现一次能量差为p(dE)的降温的概率就越大;温度越低,则出现降温的概率就越小。

在实际问题中,这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程。假定当前可行解为x,迭代更新后的解为x_new,那么对应的“能量差”定义为:

\Delta f=f(x\_new)-f(x)

其对应的“一定概率”为:

p(\Delta f)=\left\{\begin{matrix} exp(-\frac{\Delta f}{kT})\quad for\; minimum\; optimization\\ exp(\frac{\Delta f}{kT})\quad for \; maximum\;optimization \end{matrix}\right.

注:在实际问题中,可以设定k=1。因为kT可以等价于一个参数TT。如设定k=2、T=1000,等于直接设定T=2000的效果。


二、模拟退火算法描述

  1. 初始化:初始温度T(充分大),温度下限Tmin(充分小),初始解状态x(是算法迭代的起点),每个T值的迭代次数L;
  2. 对l=1,2,...,L做第3至第6步;
  3. 产生新解x_new: (x_new=x+Δx);
  4. 利计算增量Δf=f(x_new)−f(x),其中f(x)为优化目标;
  5. 若Δf<0(若寻找最大值,Δf>0)则接受x_new作为新的当前解,否则以概率exp⁡(−Δf/(kT))接受x_new作为新的当前解;
  6. 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结束程序。(终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。);
  7. T逐渐减少,且T>Tmin,然后转第2步。


三、模拟退火算法的优缺点

模拟退火算法的应用很广泛,可以高效地求解NP完全问题,如货郎担问题(Travelling Salesman Problem,简记为TSP)、最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)等等,但其参数难以控制,不能保证一次就收敛到最优值,一般需要多次尝试才能获得(大部分情况下还是会陷入局部最优值)。观察模拟退火算法的过程,发现其主要存在如下三个参数问题:

(1) 温度T的初始值设置问题 

温度TT的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高,则搜索到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间;反之,则可节约计算时间,但全局搜索性能可能受到影响。

(2) 退火速度问题,即每个TT值的迭代次数 

模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说,同一温度下的“充分”搜索是相当必要的,但这也需要计算时间。循环次数增加必定带来计算开销的增大。

(3) 温度管理问题 

温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中,由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题,常采用如下所示的降温方式: 

T=\alpha *T\quad \alpha \in(0,1)

注:为了保证较大的搜索空间,α一般取接近于1的值,如0.95、0.9。


四、模拟退火算法Python实战

经过上面理论知识的熏陶,相信大家已经对模拟退火算法有了较深入的理解,接下来通过实战再强化一下大家的认识,此处利用模拟退火算法求解如下优化问题:

min \; f(x)=(x-2)*(x+3)*(x+8)*(x-9) 

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def inputfun(x):
    return (x-2)*(x+3)*(x+8)*(x-9)

initT = 1000 #初始温度
minT = 1 #温度下限
iterL = 1000 #每个T值的迭代次数
delta = 0.95 #温度衰减系数
k = 1

initx = 10*(2*np.random.rand()-1)
nowt = initT
print "初始解:",initx

xx = np.linspace(-10,10,300)
yy = inputfun(xx)
plt.figure()
plt.plot(xx,yy)
plt.plot(initx,inputfun(initx),'o')

#模拟退火算法寻找最小值过程
while nowt>minT:
    for i in np.arange(1,iterL,1):
        funVal = inputfun(initx)
        xnew = initx+(2*np.random.rand()-1)
        if xnew>=-10 and xnew<=10:
            funnew = inputfun(xnew)
            res = funnew-funVal
            if res<0:
                initx = xnew
            else:
                p = np.exp(-(res)/(k*nowt))
                if np.random.rand()<p:
                    initx = xnew
#            print initx-xnew
#    print initx
#    print nowt
    nowt = nowt*delta

print "最优解:",initx
print "最优值:",inputfun(initx)
plt.plot(initx,inputfun(initx),'*r')
plt.show()

可以看到,即使初始解选取的有风险,模拟退火算法经过迭代,也可以成功跳出局部最优值,最终收敛到问题的全局最优。

转自ai_BigData_WH的博客,仅作为学习之用,如有侵权,可联系[email protected]删除。

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