欧拉角

　

欧拉角

欧拉角（Euler Angles）用来描述坐标轴的旋转。

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• 坐标轴

  

  原始坐标轴记为$x-y-z$x−y−z，旋转后坐标轴记为$X-Y-Z$X−Y−Z，坐标轴原点记为$O$O。$\vec{N}$N轴为$XY$XY与$xy$xy两平面的交线，$\vec{N}=\vec{z}\times \vec{Z}$N=z×Z。

旋转后坐标轴	方向余弦
$\vec{X}$X	$l_1$l1​ $m_1$m1​ $n_1$n1​
$\vec{Y}$Y	$l_2$l2​ $m_2$m2​ $n_2$n2​
$\vec{Z}$Z	$l_3$l3​ $m_3$m3​ $n_3$n3​

则有

$\{\begin{array}{c}x=l_{1}X+l_{2}Y+l_{3}Z\\ y=m_{1}X+m_{2}Y+m_{3}Z\\ z=n_{1}X+n_{2}Y+n_{3}Z\end{array}$⎩⎪⎨⎪⎧​x=l1​X+l2​Y+l3​Zy=m1​X+m2​Y+m3​Zz=n1​X+n2​Y+n3​Z​

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• 欧拉角

旋转后坐标轴可用三个欧拉角确定。

1. 章动角$\theta$θ（$\beta$β）为$\vec{Z}$Z与$\vec{z}$z两轴正向夹角，$0\le \theta \&lt;\pi$0≤θ<π。
2. 进动角$\psi$ψ（$\alpha$α）为$\vec{N}$N与$\vec{x}$x两轴的夹角，$0\le \psi \&lt;2\pi$0≤ψ<2π；面对$\vec{z}$z轴正向，$\psi$ψ按逆时针方向从$\vec{x}$x轴开始计算。
3. 自转角$\phi$φ（$\gamma$γ）为$\vec{N}$N与$\vec{X}$X两轴的夹角，$0\le \phi \le 2\pi$0≤φ≤2π；面对$\vec{Z}$Z轴正向，$\phi$φ按逆时针方向从$\vec{X}$X轴开始计算。

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若设

$\begin{array}{cccc}& c_1=\cos \theta ,& c_2=\cos \psi ,& c_3=\cos \phi \\ & s_1=\sin \theta ,& s_2=\sin \psi ,& s_3=\sin \phi \end{array}$​c1​=cosθ,s1​=sinθ,​c2​=cosψ,s2​=sinψ,​c3​=cosφs3​=sinφ​

则

$\begin{array}{ccc}{l}_1=c_2{c}_3-c_1{s}_2{s}_3,& m_1=s_2{c}_3-c_1{c}_2{s}_3,& n_1=s_1{s}_3\\ l_2=-c_2{c}_3-c_1{s}_2{c}_3,& m_2=-s_2{s}_3-c_1{c}_2{c}_3,& n_2=s_1{c}_3\\ l_3=s_1{s}_2,& m_3=-s_1{c}_2,& n_3=c_1\end{array}$l1​=c2​c3​−c1​s2​s3​,l2​=−c2​c3​−c1​s2​c3​,l3​=s1​s2​,​m1​=s2​c3​−c1​c2​s3​,m2​=−s2​s3​−c1​c2​c3​,m3​=−s1​c2​,​n1​=s1​s3​n2​=s1​c3​n3​=c1​​

变换行列式

$\mathrm{△}=\mid \begin{array}{ccc}{l}_1& l_2& l_3\\ m_1& m_2& m_3\\ n_1& n_2& n_3\end{array}\mid =\pm 1$△=∣∣∣∣∣∣​l1​m1​n1​​l2​m2​n2​​l3​m3​n3​​∣∣∣∣∣∣​=±1

当右手系变为右手系（或者左手系变为左手系）时，$\mathrm{△}=1$△=1；当右手系变为左手系（或者左手系变为右手系）时，$\mathrm{△}=-1$△=−1

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参考：《数学手册》，高等教育出版社，1979

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