bootstrap方法
一、Introduction
如果说到Bootstrap你会想到什么？是Twitter推出的那个用于前端开发的开源工具包吗？Unfortunately，本文要讨论的并非是Bootstrap工具包，而是统计学习中一种重采样（Resampling）技术。这种看似简单的方法，对后来的很多技术都产生了深远的影响。机器学习中的Bagging，AdaBoost等方法其实都蕴含了Bootstrap的思想。
下面引用的是谢益辉博士关于Bootstrap （和 Jackknife）基本思想的论述，希望能帮助读者对于Bootstrap 建立一个初步的认识：
在统计的世界，我们面临的总是只有样本，Where there is sample, there is uncertainty，正因为不确定性的存在，才使统计能够生生不息。传说统计学家、数学家和物理学家乘坐一列火车上旅行，路上看到草原上有一只黑羊，统计学家说，“基于这个样本来看，这片草原上所有的羊都是黑的”，数学家说，“只有眼前这只羊是黑的”，物理学家则说，“你们都不对，只有羊的这一面是黑的”。这是关于统计和其他学科的一个玩笑话，说明了统计的一些特征，比如基于样本推断总体。
一般情况下，总体永远都无法知道，我们能利用的只有样本，现在的问题是，样本该怎样利用呢？Bootstrap的奥义也就是：既然样本是抽出来的，那我何不从样本中再抽样（Resample）？Jackknife的奥义在于：既然样本是抽出来的，那我在作估计、推断的时候“扔掉”几个样本点看看效果如何？既然人们要质疑估计的稳定性，那么我们就用样本的样本去证明吧。
John Fox的那一系列附录中有一篇叫“BootstrAPPing regression Models”，当我看到第二页用方框框标出那句话时，我才对Bootstrap的思想真正有了了解（之前迷茫了很长时间）。Bootstrap的一般的抽样方式都是“有放回地全抽”（其实样本量也要视情况而定，不一定非要与原样本量相等），意思就是抽取的Bootstrap样本量与原样本相同，只是在抽样方式上采取有放回地抽，这样的抽样可以进行B次，每次都可以求一个相应的统计量/估计量，最后看看这个统计量的稳定性如何（用方差表示）。Jackknife的抽样痕迹不明显，但主旨也是取样本的样本，在作估计推断时，每次先排除一个或者多个样本点，然后用剩下的样本点求一个相应的统计量，最后也可以看统计量的稳定性如何。
在R中简单随机抽样的函数是sample()，其中有个参数replacement表示是否放回，经典的抽样基本都是不放回（replace = FALSE），而Bootstrap则是replace = TRUE；从FALSE到TRUE，小小的一个变化，孕育了Bootstrap的经典思想。
统计推断是从样本推断相应的总体, 有参数法和非参数法。早期的统计推断是以大样本为基础的。自从英国统计学家威廉·戈塞特（Willam Gosset）在1908年发现了t分布后，就开创了小样本的研究。费希尔（Fisher）在1920年提出了似然（likelihood）的概念，一直被认为是高效的统计推断思维方法。半个多世纪以来，这种思维一直占有主导地位，统计学家研究的主流就是如何将这种思维付诸实践，极大似然函数的求解是这一研究的关键问题。
当今计算机技术的高度发展，使统计研究及其应用跃上了一个新台阶。这不仅提高了计算的速度，而且可以把统计学家从求解数学难题中释放出来，并逐渐形成一种面向应用的、基于大量计算的统计思维——模拟抽样统计推断, Bootstrap 法就是其中的一种。
bootstrap方法最初由美国斯坦福大学统计学教授Efron在1977年提出。作为一种崭新的增广样本统计方法，Bootstrap方法为解决小规模子样试验评估问题提供了很好的思路。当初，Efron教授将他的论文投给了统计学领域的一流刊物《The Annals of Statistics》，但在被该刊接受之前，这篇后来被奉为扛鼎之作的文章曾经被杂志编辑毫不客气地拒绝过，理由是“太简单”。从某种角度来讲，这也是有道理的，Bootstrap的思想的确再简单不过，但后来大量的事实证明，这样一种简单的思想却给很多统计学理论带来了深远的影响，并为一些传统难题提供了有效的解决办法。Bootstrap方法提出之后的10年间，统计学家对它在各个领域的扩展和应用做了大量研究，到了20世纪90年代，这些成果被陆续呈现出来，而且论述更加全面、系统。
很多人会对Bootstrap这个名字感到困惑。英语Bootstrap的意思是靴带，来自短语：“pull oneself up by one′s bootstrap”，18世纪德国文学家拉斯伯（Rudolf Erich Raspe）的小说《巴龙历险记（或译为终极天将）》（Adventures of Baron Munchausen) 记述道：“巴龙掉到湖里沉到湖底，在他绝望的时候，他用自己靴子上的带子把自己拉了上来。”现意指不借助别人的力量，凭自己的努力，终于获得成功。在这里“bootstrap”法是指用原样本自身的数据抽样得出新的样本及统计量，根据其意现在普遍将其译为“自助法”。
二、Explanation
Bootstrap法是以原始数据为基础的模拟抽样统计推断法，可用于研究一组数据的某统计量的分布特征，特别适用于那些难以用常规方法导出对参数的区间估计、假设检验等问题。其基本思想是：在原始数据的范围内作有放回的再抽样, 样本容量仍为n，原始数据中每个观察单位每次被抽到的概率相等, 为1/n , 所得样本称为Bootstrap样本。于是可得到参数θ的一个估计值θ^(b)，这样重复若干次，记为B 。
设随机样本 X = [x1, x2,...,xn]是独立同分布样本xi~F(x), i = 1, 2,..., n。R(X, F)为某个预先选定的随机变量, 是关于X和F的函数。现要求根据观测样本[x1, x2,...,xn]来估计R(X, F)的分布特征。例如，设θ = θ(F)为总体分布F的某个参数，Fn是观测样本X的经验分布函数（如果你不了解什么是“经验分布函数”可以参考http://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/51720090）, 
是θ的估计，记估计误差为
（1）
现要由观测样本X =[x1, x2,...,xn]估计R(X, F)的分布特征，Bootstrap方法的实质就是一个再抽样过程，计算R(X, F)分布特征的基本步骤归纳如下：
1）根据观测样本X =[x1, x2,...,xn]构造经验分布函数Fn；
2）从Fn中抽取样本
，称其为Bootstrap样本；
3）计算相应的Bootstrap统计量R*(X*,Fn)，其表达式为
（2）
式中
是Bootstrap样本的经验分布函数；Rn为Tn的Bootstrap统计量；
4）重复过程2）、3）N次，即可获得Bootstrap统计量R*(X*,Fn)的N个可能取值；
5）用R*(X*, Fn)的分布去逼近R(X, F)的分布, 即用Rn的分布去近似Tn的分布，可得到参数θ(F)的N个可能取值，即可统计求出参数θ的分布及其特征值。
由Bootstrap方法的实现步骤可以看出：
1）Rn的统计特性是基于经验分布函数得到的，Tn的统计特性是通过真实分布函数F描述的；
2）Bootstrap方法的一个重要环节就是计算自助统计量Rn的分布；
3）Bootstrap方法的核心思想是利用自助统计量Rn的统计特性来近似Tn的统计特性，因此，Bootstrap方法的效果好坏在很大程度上取决于这二者的近似程度；
4）由式（1）可以看出，Tn的统计特性决定于
和θ(F)的统计特性。对于某个具体的分布F而言，θ(F)是一个确定的值，因此，Tn的统计特性取决于的统计特性；
近似θ(F)的程度。对于大样本而言，Rn与Tn的统计特性有良好的相似性。但对于小子样特别是极小子样的情况下，二者之间的差异却是不可忽略的。以Bootstrap方法获取正态分布均值的先验分布为例研究Rn的统计特性。已知观测样本数据 X = [x1, x2, ..., xn], xi~N(μ,σ^2)，i = 1, 2, ..., n，则X = [x1, x2, ..., xn]的经验分布（这里考虑参数Bootstrap方法）Fn也是一正态分布
其中，
(3)
用经验分布Fn的均值
来估计μ, 则有估计误差
, 构造的Bootstrap统计量
, 其中
三、Application
文献【5】中给出了22例胎儿受精龄（Y，周）与胎儿外形测量指标：身长（X1，cm），头围（X2，cm），体重（X3，g），数据列于表1。
很容易算得三个指标的平均值向量为：X = (33.0455, 23.2636, 936.9091) ---------（2）
---------（3）
对其进行主成分分析，得3个特征根分别为：λ1 = 2.92613, λ2 = 0.07140, λ3 = 0.00247。我们用bootstrap 法来估计第一特征根的标准差及置信区间。
首先在22个个体中作有放回的抽样，每个个体被抽中的概率为1/22，抽样次数仍为n=22，这可以用计算机产生1～22的均匀分布的随机数，相应的编号即为抽中的个体，由这些个体组成的样本就是一个bootstrap样本。如第一
次我们得到22个随机数为：10, 20, 3, 19, 12, 2, 3, 2, 5, 20, 8, 13, 12, 18, 17, 22, 2, 1, 19, 7, 8, 13。由对应的bootstrap 样本求得
如此重复B次（B分别取50, 100, 200, 500, 800, 1000），得
从
的频数分布可知，其分布是偏态的。故以上、下2.5%分位数作为其95%置信区间。结果列于附表前半部分。由此得到λ1 的置信区间, 如B = 1000 时, 其95%的置信区间为：2.8919～ 2.9672, 其标准误为0.01946。在整个计算过程中, 只是重复地抽样, 重复地计算λ1, 根据其频数分布的分位数即得到了其置信区间, 无需繁杂的数学推导。事实上，小样本时主成分的置信区间尚无理想的计算方法。
在这里, 来自未知总体F 的原样本被视为经验分布Fe，Bootstrap是在经验分布的基础上作有放回的抽样, 由于Fe 是F 的非参数估计，故由此产生的方法称为非参数的bootstrap , 相应的估计量称为非参数的bootstrap统计量。
事实上, bootstrap亦可以从参数的角度考虑。如上例, X = (X1 , X2 , X3) ，此时设经验分布Fp 是以式(2)为均向量、式(3)为协方差阵的3元正态分布。此时的Bootstrap的样本是从Fp中而不是从Fe (样本)中随机产生，其余步骤相同。由于此时Fp 是F 的一个参数估计，则该法称为参数的bootstrap，相应的估计称为参数的bootstrap估计。结果列于附表后部分。B = 1000时，其95% 的置信区间为: 2. 8431～ 2. 9705，其标准误为0. 03495。
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本文主要根据以下文献整理而成
[1] 谢益辉，我的一些统计方法观，http://cos.name/2008/11/outlook-on-statistical-methods/，2007-01-27
[2] 谢益辉，朱钰，Bootstrap方法的历史发展和前沿研究，统计与信息论坛，2008年2月，第23卷，第2期
[3] 陈峰，陆守曾，杨珉，Bootstrap估计及其应用，中国卫生统计，1997年，第14卷，第5期
[4] 刘伟，龙琼，陈芳，付敏，Bootstrap方法的几点思考，飞行器测控学报，2007年10月，第26卷，第5期
[5] 陈峰，主成分回归分析，中国卫生统计，1991年，第8卷，第1期
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