隔板法
隔板法：
【定义】
隔板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入k个板，可以把n个元素分成k+1组的方法。
应用隔板法必须满足的条件：
（1） 所分成的每一组至少分得1个元素；
【公式】
把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？
C（n-1，m-1）=C(9.2)
接下来才是重点（某个箱子可以为空）。
【隔板应用】
普通隔板法
例1. 求方程 x+y+z=10的正整数解的个数。
分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值（如下图）。则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为C(n-1,m-1)=C（9，2）=36（个）。
添元素隔板法
例2：将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？
分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法.
解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，因为允许有盒子为空，不符合隔板法的原理，那就人为的再加上3个小球，保证每个盒子都至少分到一个小球，那就符合隔板法的要求了（分完后，再在每组中各去掉一个小球，即满足了题设的要求）。然后就变成待分小球总数为23个，球中间有22个空档，需要在这22个空档里加入2个隔板来分隔为3份，共有C（22，2）=231种不同的方法.
例3： 把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？ C(8,2）=28
例4. 将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。（减少球数用隔板法）
分析：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由例1知方法有C（13，3）=286（种）。
例5：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？
因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab
显然a+b<=9 ,且a不为0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1代表9个1，-代表8个空位
我们要把9个1分成两组，但b可以为0，我们先给b一个1，然后就相当于10个小球放入两个（a，b）不同的箱子，每一个箱子至少放一个，C（9，1），但这是错误的，为什么？因为1不一定要全部放入。其实解决这个问题可以这么想，我们在引进一个盒子c来放ab取完剩下的1，所以报证c中球数大于0，所以要在增加一个球，题目就等价于，11个小球放入三个（a，b）不同的箱子，每一个箱子至少放一个，所以一共有 c（10，2）=45 .
添板插板法
例5另一种解法：
显然a+b<=9 ,且a不为0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1代表9个1，-代表10个空位 （第一个没有因为a不能为0），我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有 c（10，2）=45
添板插板法就是添元素隔板法的变形。
选板法
例6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？
o - o - o - o - o - o - o - o - o – o o代表10个糖，-代表9块板
10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉
这样一共就是 2^9= 512啦
分类插板
例7： 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论
最多吃5天，最少吃1天
1： 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况
2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？ C（10， 1）=10
3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天? C（8 ，2）=28
4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c（6 ，3）=20
所以一共是 2+10+28+20=60 种
逐步插板法
例8 ：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几种情况？
-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc
可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位
所以一共是 c（7, 1）×c(8, 1)×c(9 ,1)=504种
几个思维含量的例题：
1.[ZOJ3557]How Many Sets II
给一个集合，一共个元素，从中选取个元素，选出的元素中没有相邻的元素的选法一共有多少种？
这道题是插板法的经典应用
首先我们拿出m个小球，还剩下n-m个小球。这n-m个小球一共有n-m+1个空（左右两边也可以），把这m个小球插入到这n-m+1个空里就是答案，即
这m个小球的编号取决于它插入的位置，所以和选哪个小球没关系
2.hdu 3037 Saving Beans
有n个不同的盒子，在每个盒子中放一些球（可以不放），使得总球数≤m,求方案数（mod p）
第一种方法：
设最后放了k个球，根据"隔板法"由方案数C(k+n-1,n-1),:
ans=C(n-1,n-1)+C(n,n-1)+C(n+1,n-1)+……+C(n+m-2,n-1)+C(n+m-1,n-1)
=C(n+m,n);(mod p)
第二种方法：
这个题和原来不一样的地方：总球数≤m，一般我们就是总球数就是m，所以我们可以增加一个盒子，现在n+1个盒子，现在假设就要放m个球，n来来放k个球，剩下的m-k就放在那个我们增加的盒子里，这样n个盒子的组合球数就是我们要求的，所以题目等价于m个球放入n+1个盒子中，盒子有里球数可以为0，添元素插板法，每一个盒子都增加一个球，即m+n+1个球放入n+1个盒子，c（m+n，n）为答案
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作者：pxlsdz
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/sdz20172133/article/details/81431066
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