最短路之——弗洛伊德算法（floyd）

　

弗洛伊德算法

来源： https://blog.csdn.net/riba2534/article/details/54562440

我们要做的是求出从某一点到达任意一点的最短距离，我们先用邻接矩阵来建图，map[i][j]表示从i点到j点的距离，把自己到自己设为0，把自己到不了的边初始化为无穷大，代码为：

[cpp] view plain copy

1. //初始化  
2.     for(int i=1; i<=n; i++)  
3.         for(int j=1; j<=n; j++)  
4.             if(i==j)  
5.                 map[i][j]=0;  
6.             else  
7.                 map[i][j]=inf;  
8.     //读入边  
9.     for(int i=1; i<=m; i++)  
10.     {  
11.         scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);  
12.         map[t1][t2]=t3;  
13.     }  

最后，建好的图可以用表格来表示：

现在，我们来思考，假设我们来找一个中转的点，看他们的路程会不会改变，我们先以1号顶点作为中转点最为例子，制图：

我们发现，图有了变化，我们怎么判断以1号顶点作为中转点图的路程是不是更短呢，我们只需要判断map[i][1]+map[1][j]的路程是不是比map[i][j]的路程更短，就可以判断，

代码为：

[cpp] view plain copy

1. for(int i=1; i<=n; i++)  
2.     for(int j=1; j<=n; j++)  
3.         if(map[i][1]+map[1][j]<map[i][j])  
4.             map[i][j]=map[i][1]+map[1][j];  

现在该怎么办呢，我们接着以2号顶点作为中转点，很简单代码修改一句就就可以：

[cpp] view plain copy

1. for(int i=1; i<=n; i++)  
2.     for(int j=1; j<=n; j++)  
3.         if(map[i][2]+map[2][j]<map[i][j])  
4.             map[i][j]=map[i][2]+map[2][j];  

现在我们是不是发现了一个规律，只要不断的遍历每一个点，并且以每一个点作为中转点看看它的值会不会改变，就可以得到从一个点到任意一个点的最短路径，也就是多源最短路，这就是弗洛伊德算法，代码为：

[cpp] view plain copy

1. for(int k=1; k<=n; k++)  
2.     for(int i=1; i<=n; i++)  
3.         for(int j=1; j<=n; j++)  
4.             if(map[i][k]+map[k][j]<map[i][j])  
5.                 map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];  

这样就可以遍历每个顶点，找出所有的最短路，算法的复杂度为O(n^3).

对于我一开始提出的问题，完整的代码为：

[cpp] view plain copy

1. #include <stdio.h>  
2. #include <string.h>  
3. #include <string>  
4. #include <iOStream>  
5. #include <stack>  
6. #include <queue>  
7. #include <vector>  
8. #include <algorithm>  
9. #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))  
10. using namespace std;  
11. const int inf=1<<29;  
12. int main()  
13. {  
14.     int map[10][10],n,m,t1,t2,t3;  
15.     scanf("%d%d",&n,&m);//n表示顶点个数，m表示边的条数  
16.     //初始化  
17.     for(int i=1; i<=n; i++)  
18.         for(int j=1; j<=n; j++)  
19.             if(i==j)  
20.                 map[i][j]=0;  
21.             else  
22.                 map[i][j]=inf;  
23.     //读入边  
24.     for(int i=1; i<=m; i++)  
25.     {  
26.         scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);  
27.         map[t1][t2]=t3;  
28.     }  
29.     //弗洛伊德(Floyd)核心语句  
30.     for(int k=1; k<=n; k++)  
31.         for(int i=1; i<=n; i++)  
32.             for(int j=1; j<=n; j++)  
33.                 if(map[i][k]+map[k][j]<map[i][j])  
34.                     map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];  
35.     for(int i=1; i<=n; i++)  
36.     {  
37.         for(int j=1; j<=n; j++)  
38.             printf("%10d",map[i][j]);  
39.         printf("\n");  
40.     }  
41.     return 0;  
42. }  

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