拟合
一.过拟合
在训练数据不够多时，或者over-training时，经常会导致over-fitting（过拟合）。其直观的表现如下图所所示。
随着训练过程的进行，模型复杂度，在training data上的ERROR渐渐减小。可是在验证集上的error却反而渐渐增大——由于训练出来的网络过拟合了训练集，对训练集以外的数据却不work。
在机器学习算法中，我们经常将原始数据集分为三部分：训练集（training data）、验证集（validation data）、测试集（testing data）。
1.validation data是什么？
它事实上就是用来避免过拟合的。在训练过程中，我们通经常使用它来确定一些超參数（比方,依据validation data上的accuracy来确定early stopping的epoch大小、依据validation data确定learning rate等等）。那为啥不直接在testing data上做这些呢？由于假设在testing data做这些，那么随着训练的进行，我们的网络实际上就是在一点一点地overfitting我们的testing data，导致最后得到的testing accuracy没有什么參考意义。因此，training data的作用是计算梯度更新权重，testing data则给出一个accuracy以推断网络的好坏。
2.防止过拟合方法主要有：
1.正则化（Regularization）（L1和L2）
2.数据增强（Data augmentation），也就是增加训练数据样本
3.Dropout
4.early stopping
二、正则化
正则化（Regularization）包含L1、L2（L2 regularization也叫权重衰减，weight decay）
1.L1 regularization
在原始的代价函数后面加上一个L1正则化项,即全部权重w的绝对值的和，再乘以λ/n（这里不像L2正则化项那样，须要再乘以1/2）。
先计算导数：
上式中sgn(w)表示 w 的符号，那么权重w的更新规则为：
比原始的更新规则多出了
这一项。
当w为正时，sgn(w)>0, 则更新后的w变小。
当w为负时，sgn(w)>0, 则更新后的w变大——因此它的效果就是让w往0靠，使网络中的权重尽可能为0，也就相当于减小了网络复杂度，防止过拟合。
另外，上面没有提到一个问题，当w为0时怎么办？当w等于0时，|W|是不可导的。所以我们仅仅能依照原始的未经正则化的方法去更新w，这就相当于去掉 η*λ*sgn(w)/n 这一项，所以我们能够规定sgn(0)=0，这样就把 w=0 的情况也统一进来了。
（在编程的时候，令sgn(0)=0,sgn(w>0)=1,sgn(w<0)=-1）
2. L2 regularization（权重衰减）
L2正则化就是在代价函数后面再加上一个正则化项：
C0代表原始的代价函数，后面那一项就是L2正则化项。它是这样来的：全部參数 w 的平方和，除以训练集的样本大小n。
λ 就是正则项系数，权衡正则项与C0项的比重。另外另一个系数1/2，1/2经常会看到，主要是为了后面求导的结果方便，后面那一项求导会产生一个2,与1/2相乘刚好凑整。L2正则化项是怎么避免overfitting的呢？我们推导一下看看，先求导：
能够发现L2正则化项对 b 的更新没有影响，可是对于w的更新有影响:
在不使用L2正则化时。求导结果中 w 前系数为 1，经变化后w前面系数为 1−ηλ/n ，由于η、λ、n都是正的。所以 1−ηλ/n小于1，它的效果是减小w，这也就是权重衰减（weight decay）的由来。
当然考虑到后面的导数项，w 终于的值可能增大也可能减小。
另外，必须提一下，对于基于Mini-BATch的随机梯度下降，w 和 b 更新的公式跟上面给出的有点不同：
对照上面 w 的更新公式。能够发现后面那一项变了，变成全部导数加和，乘以η再除以m，m是一个mini-batch中样本的个数。
在此我们仅仅是解释了L2正则化项有让w“变小”的效果，可是还没解释为什么w“变小”能够防overfitting？
一个所谓“显而易见”的解释就是：更小的权值w，从某种意义上说，表示网络的复杂度更低，对数据的拟合刚刚好（这个法则也叫做奥卡姆剃刀），而在实际应用中，也验证了这一点，L2正则化的效果往往好于未经正则化的效果。当然，对于非常多人（包含我）来说，这个解释似乎不那么显而易见，所以这里加入一个略微数学一点的解释（引自知乎）：
过拟合的时候，拟合函数的系数往往非常大，为什么？例如以下图所看到的，过拟合。就是拟合函数须要顾忌每个点。终于形成的拟合函数波动非常大。在某些非常小的区间里，函数值的变化非常剧烈。
这就意味着函数在某些小区间里的导数值（绝对值）非常大，由于自变量值可大可小，所以仅仅有系数足够大，才干保证导数值非常大。而L2正则化是通过约束參数的范数使其不要太大，所以能够在一定程度上降低过拟合情况。
3.在什么情况下使用L1,什么情况下使用L2？
L1和L2的差别，为什么一个让绝对值最小，一个让平方最小，会有那么大的差别呢？我看到的有两种几何上直观的解析：
（1）下降速度：
我们知道，L1和L2都是规则化的方式，我们将权值参数以L1或者L2的方式放到代价函数里面去。然后模型就会尝试去最小化这些权值参数。而这个最小化就像一个下坡的过程，L1和L2的差别就在于这个“坡”不同，如下图：L1就是按绝对值函数的“坡”下降的，而L2是按二次函数的“坡”下降。所以实际上在0附近，L1的下降速度比L2的下降速度要快，所以会非常快得降到0。不过我觉得这里解释的不太中肯，当然了也不知道是不是自己理解的问题。
L1称Lasso，L2称Ridge。
总结就是：L1会趋向于产生少量的特征，而其他的特征都是0，而L2会选择更多的特征，这些特征都会接近于0。Lasso在特征选择时候非常有用，而Ridge就只是一种规则化而已。
三. 数据集扩增（data augmentation）
训练模型有时候不是由于算法好赢了，而是由于拥有海量的数据才赢了。”
不记得原话是哪位大牛说的了，hinton？从中可见训练数据有多么重要，特别是在深度学习方法中，海量的训练数据，意味着能够用更深的网络，训练出更好的模型。
既然这样，收集大量数据不就OK啦？假设能够收集很多其它能够用的数据，当然好。可是非常多时候，收集很多其它的数据意味着须要耗费很多其它的人力物力。尤其在对数据集进行人工标注的同学就知道，效率特别低，简直是粗活。
所以。能够在原始数据上做些改动，得到很多其它的数据，以图片数据集举例，能够做各种变换，如：
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将原始图片旋转一个小角度
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加入随机噪声
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一些有弹性的畸变（elastic distortions），论文《Best practices for convolutional neural networks APPlied to visual document analysis》对MNIST做了各种变种扩增。
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截取（crop）原始图片的一部分，比方DeepID中，从一副人脸图中，截取出了100个小patch作为训练数据，极大地添加了数据集。
感兴趣的能够看《Deep learning face representation from predicting 10,000 classes》.
大量训练数据意味着什么？
用50000个MNIST的样本训练SVM得出的accuracy94.48%，用5000个MNIST的样本训练KNN得出accuracy为93.24%，所以很多其它的数据能够使算法表现得更好。
在机器学习中，算法本身并不能决出胜负，不能武断地说这些算法谁优谁劣，由于数据对算法性能的影响非常大。
四.Dropout
L1、L2正则化是通过改动代价函数来实现的，而Dropout则是通过改动神经网络本身来实现的，它是在训练网络时用的一种技巧（trike），它的流程例如以下：
假设我们要训练上图这个网络，在训练开始时，我们随机地“删除”一部分的隐层单元，视它们为不存在，得到例如以下的网络：
保持输入输出层不变，依照BP算法更新上图神经网络中的权值（虚线连接的单元不更新，由于它们被“暂时删除”了）。
以上就是一次迭代的过程，在第二次迭代中，也用相同的方法，仅仅只是这次删除的那一部分隐层单元，跟上一次删除掉的肯定是不一样的。由于我们每一次迭代都是“随机”地去删掉一部分。
第三次、第四次……都是这样，直至训练结束。
以上就是Dropout，它为什么有助于防止过拟合呢？能够简单地这样解释，运用了dropout的训练过程，相当于训练了非常多个仅仅有部分隐层单元的神经网络，每个这种半数网络，都能够给出一个分类结果，这些结果有的是正确的，有的是错误的。
随着训练的进行，大部分半数网络都能够给出正确的分类结果。那么少数的错误分类结果就不会对终于结果造成大的影响。
删除神经单元，不工作，通常keep_prob取0.5
在编程时可以利用TensorFlow中 Dropoutwrappera函数
在训练过程引入Dropout 策略，其Dropout层保留节点比例（keep_prob）,每批数据输入时神经网络中的每个单元会以1-keep_prob的概率不工作，防止过拟合。
lstmCell = tf.contrib.rnn.DropoutWrapper(cell=lstmCell, output_keep_prob=0.5)
更加深入地理解。能够看看Hinton和Alex两牛2012的论文《ImageNet Classification with Deep Convolutional Neural Networks》
五、提前终止（Early stopping）
对模型进行训练的过程即是对模型的参数进行学习更新的过程，这个参数学习的过程往往会用到一些迭代方法，如梯度下降（Gradient descent）学习算法。Early stopping便是一种迭代次数截断的方法来防止过拟合的方法，即在模型对训练数据集迭代收敛之前停止迭代来防止过拟合。
Early stopping方法的具体做法是，在每一个Epoch结束时（一个Epoch集为对所有的训练数据的一轮遍历）计算validation data的accuracy，当accuracy不再提高时，就停止训练。这种做法很符合直观感受，因为accurary都不再提高了，在继续训练也是无益的，只会提高训练的时间。那么该做法的一个重点便是怎样才认为validation accurary不再提高了呢？并不是说validation accuracy一降下来便认为不再提高了，因为可能经过这个Epoch后，accuracy降低了，但是随后的Epoch又让accuracy又上去了，所以不能根据一两次的连续降低就判断不再提高。一般的做法是，在训练的过程中，记录到目前为止最好的validation accuracy，当连续10次Epoch（或者更多次）没达到最佳accuracy时，则可以认为accuracy不再提高了。此时便可以停止迭代了（Early Stopping）。这种策略也称为“No-improvement-in-n”，n即Epoch的次数，可以根据实际情况取，如10、20、30……
六、从数据预处理角度
1.对原始数据通过PCA， t-SNE等降维技术进行降维处理
2.平衡不同类数据的权重等
参考：
1.《Neural networks and deep learning》概览 中第三章的一部分
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