数论初步：欧拉函数

　

欧拉函数

1.欧拉函数的定义

欧拉函数，又称为φ" role="presentation">φ$\phi$。φ(n)" role="presentation">φ(n)$\phi (n)$表示比n小的和n互质的数的个数。

举个栗子：φ(8)=4" role="presentation">φ(8)=4$\phi (8)=4$，因为1,3,5,7与8互质。

2.欧拉函数的通式及证明

欧拉函数有一个通式，即为：φ(n)=n∗(1−1p1)∗(1−1p2)∗……∗(1−1pr)" role="presentation">φ(n)=n∗(1−1p1)∗(1−1p2)∗……∗(1−1pr)$\phi (n)=n\ast (1-\frac{1}{p1})\ast (1-\frac{1}{p2})\ast \dots \dots \ast (1-\frac{1}{pr})$ (p1…pr为n的所有质因子)。

证明：

首先：

φ(a∗b)=φ(a)∗φ(b)(a,b互质时)..........................1" role="presentation">φ(a∗b)=φ(a)∗φ(b)(a,b互质时)..........................1$$\phi (a\ast b)=\phi (a)\ast \phi (b)(a,b互质时)..........................1$$

其次：

φ(pk)=pk−pkp=pk−p(k−1)=pk(1−1p)..............2" role="presentation">φ(pk)=pk−pkp=pk−p(k−1)=pk(1−1p)..............2$$\phi (p^k)=p^k-\frac{p^k}{p}=p^k-p^{(k-1)}=p^k(1-\frac{1}{p})..............2$$

φ(n)=φ(p1k1∗p2k2∗...∗prkr)" role="presentation">φ(n)=φ(p1k1∗p2k2∗...∗prkr)$$\phi (n)=\phi (p{1}^{k1}\ast p{2}^{k2}\ast ...\ast p{r}^{kr})$$

由于1,

φ(n)=φ(p1k1)∗φ(p2k2)∗φ(p3k3)∗…∗φ(prkr)。" role="presentation">φ(n)=φ(p1k1)∗φ(p2k2)∗φ(p3k3)∗…∗φ(prkr)。$$\phi (n)=\phi (p{1}^{k1})\ast \phi (p{2}^{k2})\ast \phi (p{3}^{k3})\ast \dots \ast \phi (p{r}^{kr})。$$

由于2，

φ(n)=p1∗p2∗p3∗...∗pr(1−1p1)(1−1p2)...(1−1pr)" role="presentation">φ(n)=p1∗p2∗p3∗...∗pr(1−1p1)(1−1p2)...(1−1pr)$$\phi (n)=p1\ast p2\ast p3\ast ...\ast pr(1-\frac{1}{p1})(1-\frac{1}{p2})...(1-\frac{1}{pr})$$

化简得:

φ(n)=n∗(1−1p1)∗(1−1p2)∗……∗(1−1pr)" role="presentation">φ(n)=n∗(1−1p1)∗(1−1p2)∗……∗(1−1pr)$$\phi (n)=n\ast (1-\frac{1}{p1})\ast (1-\frac{1}{p2})\ast \dots \dots \ast (1-\frac{1}{pr})$$

那么就得证了。

还有一个比较重要的性质：与n互质的小于n的数之和是n∗φ(n)2" role="presentation">n∗φ(n)2$\frac{n\ast \phi (n)}{2}$。

3.欧拉函数的模板

单个求解欧拉函数

int eurlar(int x){
    int ret=x;
    for (int i=2;i<=sqrt(x)&&x>1;i++)
    if (x%i==0) {ret=ret/i*(i-1); while (x%i==0) x/=i;}
    if (x>1) ret=ret/x*(x-1);
    return ret;
}

4.几个例题：

经典应用：BZOJ2705: [SDOI2012]Longge的问题（题解）

拓展提升：BZOJ3884: 上帝与集合的正确用法

——————————————————————————————

莫名其妙的分割线

文章最后发布于: 2018-06-23 14:58:27

相关阅读

excel表格怎样使用求商函数

Excel中经常需要使用到求商公式进行求商，求商公式具体该如何使用呢?不懂的朋友，接下来是seo实验室小编为大家带来的excel表格求商函

[Excel]Excel函数和用法(6)——按照多个指定条件计数，

语法：COUNTIFS(criteria_range1, criteria1, criteria_range2, criteria2, …) 例如，统计A列性别为男的，年龄在5-13之间的，姓A的数量：

excel使用text函数设置日期格式的方法

excel怎么使用text函数设置日期格式?目前人们对办公自动化软件excel的功能只用了它的一小部分功能 ,大部分功能因不会用或不能直

用matlab计算连续函数卷积的表达式

原文地址: https://www.computationalimaging.cn/2018/11/matlab.html卷积计算起来较为繁琐, 若能够用matlab辅助计算则会简单很

著名数学家龚升的论述揭示高中“函数近代严格定义”

著名数学家龚升的论述揭示高中“函数近代严格定义” 有非常明显错误                      黄小宁（通讯：广州