欧拉函数
欧拉函数:在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目
1.欧拉函数公式：
φ(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn)
其中p1, p2……pn为x的所有质因数，
x是不为0的整数。
φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。
对于质数p，φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.
ll euler(ll n)
{
ll res = n;
for (ll i = 2; i*i <= n; i++)
if (n%i == 0)
{
res =res/i*(i-1);
while(n%i == 0)
n /= i;
}
if (n > 1)
res = res/n*(n-1);
return res;
}
2.欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)
欧拉函数还有这样的性质：
设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。
费马小定理
假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p），例如：假如a是整数，p是质数，则a,p显然互质(即两者只有一个公约数1)，那么我们可以得到费马小定理的一个特例，即当p为质数时候， a^(p-1)≡1(mod p)。
可变换成: a^p≡a（mod p）
欧拉定理
对于正整数a,n，若gcd(a,n)=1，则有a^euler(n)=1(mod n)。
例题:
The Luckiest number(欧拉定理,快速幂,快速乘)
3.扩展欧拉
小于或等于n的数中，与n互质的数的数总和为 n/2*φ(n) (n>1)
例题:
I-数学题(欧拉函数)
小a与黄金街道(欧拉函数,快速幂)
4.欧拉降幂
例题:
Applese 涂颜色(欧拉降幂)
欧拉降幂
5.欧拉筛
void getphi()//欧拉筛
{
phi[1]=1;
for(ll i=2;i<maxn;++i)
{
if(!ok[i])
{
prime[cnt++]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=0;j<cnt;++j)
{
if(i*prime[j]>=maxn)break;
ok[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}