「中值定理」中值定理5-泰勒中值定理

中值定理

泰勒中值定理

条件： $f (x) 在 x = x_{0} 领域内 (n + 1) f(x)在x=x_0领域内(n+1)$ f(x)在x=x0领域内(n+1)阶可导

结论： $f (x) = P_{n} (x) + R_{n} (x) ⟶ P_{n} (x) 为主项， R_{n} (x) 为次项 f(x)=P_n(x)+R_n(x) \longrightarrow P_n(x)为主项，R_n(x)为次项$ f(x)=Pn(x)+Rn(x)⟶Pn(x)为主项，Rn(x)为次项

$P_{n} (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{''} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + . . . + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} \LARGE P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ Pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+...+n!f(n)(x0)(x−x0)n

$R_{n} (x) = {\begin{matrix} \frac{f^{(n + 1) (ξ)}}{(n + 1)!} ⟹ 拉格朗日型预项 \\ o ((x - x_{0})^{n}) ⟹ 皮亚诺型余项 \end{matrix} \huge
R_n(x)=
\begin{cases}
\frac{f^{(n+1)(\xi)}}{(n+1)!}
\Longrightarrow 拉格朗日型预项 \\
o((x-x_0)^n) \Longrightarrow 皮亚诺型余项
\end{cases}$ Rn(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧(n+1)!f(n+1)(ξ)⟹拉格朗日型预项o((x−x0)n)⟹皮亚诺型余项

麦克劳林公式

$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + . . . + + \frac{x^{n}}{n!} + o (x^{n}) e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...++\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$ ex=1+x+2!x2+3!x3+...++n!xn+o(xn)

$\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + . . . + o (x^{7}) \sin x = x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...+o(x^7)$ sinx=x−3!x3+5!x5+...+o(x7)

$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + . . . + o (x^{6}) \cos x= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+o(x^6)$ cosx=1−2!x2+4!x4+...+o(x6)

$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + . . . + x^{n} + o (x^{n}) \frac{1}{1-x} = 1 +x +x^2 +x^3+...+x^n+o(x^n)$ 1−x1=1+x+x2+x3+...+xn+o(xn)

$\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + . . . + (- 1)^{n} x^{n} + o (x^{n}) \frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+o(x^n)$ 1+x1=1−x+x2−x3+...+(−1)nxn+o(xn)

$\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + o (x^{4}) \ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4)$ ln(1+x)=x−2x2+3x3−4x4+o(x4)

$(1 + x)^{a} = 1 + a x + \frac{a (a - 1)}{2!} x^{2} + \frac{a (a - 1) (a - 2)}{3!} x^{3} + . . . + o (x^{3}) (1+x)^a = 1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+...+o(x^3)$ (1+x)a=1+ax+2!a(a−1)x2+3!a(a−1)(a−2)x3+...+o(x3)

使用泰勒展开公式求极限

$例题 1 ： \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^{3}} 例题1：\underset{x\to 0}{\lim} \frac{x-\sin x}{x^3}$ 例题1：x→0limx3x−sinx

解：

1.把 $\sin x 展开到阶，跟分母同阶 \sin x 展开到阶，跟分母同阶$ sinx展开到阶，跟分母同阶

$原式 = \lim_{x \to 0} \frac{x - (x - \frac{x^{3}}{3!} + o (x^{3}))}{x^{3}} = \frac{\frac{x^{3}}{3!} + o (x^{3})}{x^{3}} 原式=\underset{x \to 0}{\lim} \frac{x-(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3))}{x^3}=\frac{\frac{x^3}{3!}+o(x^3)}{x^3}$ 原式=x→0limx3x−(x−3!x3+o(x3))=x33!x3+o(x3)

$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{6} x^{3} + o (x^{3})}{x^{3}} = \frac{1}{6} =\underset{x \to 0}{\lim}\frac{\frac{1}{6}x^3+o(x^3)}{x^3}=\frac{1}{6}$ =x→0limx361x3+o(x3)=61

文章最后发布于: 2019-04-23 17:28:34

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