高等数学---数列的极限

　

数列的极限

前言

本博客目前阶段记录的数学相关的知识，是为了学习机器学习而准备的，所以可以很明显的感觉到数学的实用性和数学的魅力。但从另一侧面来说，本博客记录的数学知识是不完整的，也是不成体系的，也没有深挖相关知识的来龙去脉，只是本人觉得机器学习中需要某些数学知识的时候，就记这些知识，够用就可以了。所以，并不适合入门。

虽然如此，我想本博客数学方面的相关内容最起码能起一个方向作用（因为当年我开始学习机器学习相关的数学基础时很茫然），让读者知道哪些数学基础是学习机器学习时非先掌握不可的，这样才能有的放矢的去查漏补缺，并学以致用。

极限

极限有两种：数列极限和函数极限，用的较多的是函数极限，数列极限相比函数极限更易理解，由数列极限到函数极限，可进行比较再理解。

本篇文章先记录数列 的极限，下一篇讲函数的极限

数列的极限

我觉得要理解极限的概念，书上的例子是不得不看的，因为极限是为了探索实际问题的精确答案产生的，如果连极限要用到哪里都不知道，学它又有什么意义？

代数学家刘徽利用圆内接正多边形为推算圆面积的方法—割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A1" role="presentation">A1$A_1$;再作内接正十二边形，其面积记为A2" role="presentation">A2$A_2$;再作内接正二十四边形，其面积为A3" role="presentation">A3$A_3$;如此下去，每次边数加倍，一般地，把内接正6∗2n−1" role="presentation">6∗2n−1$6\ast 2^{n-1}$边形的面积记为An(n∈N+)" role="presentation">An(n∈N+)$A_n(n\in N_{+})$.这样就得到一系列内接正多边形的面积

A1,A2,…,An,…," role="presentation">A1,A2,…,An,…,$$A_1,A_2,\dots ,A_n,\dots ,$$

当n" role="presentation">n$n$越大，内接正多边形与圆的面积差别就越小。但是无论n" role="presentation">n$n$取得如何大，只要n" role="presentation">n$n$取定了，An" role="presentation">An$A_n$终究只是多边形的面积，而不是圆的面积。

因此，设想n" role="presentation">n$n$无限增大（记为n→∞" role="presentation">n→∞$n\to \mathrm{\infty }$，读作n" role="presentation">n$n$趋于无穷大)，即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时An" role="presentation">An$A_n$也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为有序数列A1,A2,…,An,…" role="presentation">A1,A2,…,An,…$A_1,A_2,\dots ,A_n,\dots$当n→∞" role="presentation">n→∞$n\to \mathrm{\infty }$时的极限。书上说，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积，但还是没有理解这个啊，从上面的描述来看也还是无限接近于圆，而不是就是圆。

数列的概念 如果按照某一法则，对每个n∈N+" role="presentation">n∈N+$n\in N_{+}$,对应着一个确定的实数xn" role="presentation">xn$x_n$,这些实数xn" role="presentation">xn$x_n$按照下标n" role="presentation">n$n$从小到大排列得到一个序列

x1,x2,x3,…,xn,…" role="presentation">x1,x2,x3,…,xn,…$$x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n,\dots$$

就叫做数列，简记为数列xn" role="presentation">xn$x_n$

数列中的每个数叫做数列的项，第n" role="presentation">n$n$项xn" role="presentation">xn$x_n$叫做数列的一般项（或通项）。

下面给出数列的具体定义。

定义 设{xn}" role="presentation">{xn}$\{x_n\}$为一数列，如果存在常数a" role="presentation">a$a$，对于任意给定的正数ϵ" role="presentation">ϵ$ϵ$(不论它有多小)，总存在正整数N" role="presentation">N$N$，使得当n>N" role="presentation">n>N$n>N$时（n" role="presentation">n$n$表示第n" role="presentation">n$n$项），不等式

|xn&#x2212;a|&lt;&#x03F5;" role="presentation">|xn−a|<ϵ$$|x_n-a|<ϵ$$

都成立，那么就称常数a" role="presentation">a$a$是数列{xn}" role="presentation">{xn}$\{x_n\}$的极限，或称数列{xn}" role="presentation">{xn}$\{x_n\}$收敛于a" role="presentation">a$a$，记为

(1)limn&#x2192;+&#x221E;xn=a" role="presentation">limn→+∞xn=a(1)$$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a\end{array}$$

或

xn&#x2192;a(n&#x2192;&#x221E;)" role="presentation">xn→a(n→∞)$$x_n\to a(n\to \mathrm{\infty })$$

如果不存在这样的常数a" role="presentation">a$a$,就说数列xn" role="presentation">xn$x_n$没有极限，或者说数列xn" role="presentation">xn$x_n$是发散的，习惯上也说limn&#x2192;&#x221E;xn" role="presentation">limn→∞xn$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$不存在

1式可表达为：

limn&#x2192;+&#x221E;xn=a&#x21D4;&#x2200;&#x03B5;&gt;0,&#x2203;" role="presentation">limn→+∞xn=a⇔∀ε>0,∃$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }$正整数N" role="presentation">N$N$，当n&gt;N" role="presentation">n>N$n>N$时，有|xn&#x2212;a|&lt;&#x03B5;" role="presentation">|xn−a|<ε$|x_n-a|<\epsilon$。

&#x5C31;&#x662F;&#x6570;&#x5217;&#x7B2C;N&#x9879;&#x4EE5;&#x540E;&#x7684;&#x9879;&#x7684;&#x503C;&#x90FD;&#x63A5;&#x8FD1;&#x4E8E;a&#xFF0C;&#x800C;&#x8FD9;&#x4E2A;&#x63A5;&#x8FD1;&#x7A0B;&#x5EA6;&#x5C31;&#x662F;&#x901A;&#x8FC7;&#x4E4B;&#x5DEE;&#x5C0F;&#x4E8E;&#x03B5;&#x6765;&#x63CF;&#x8FF0;&#x7684;&#x3002;" role="presentation">就是数列第N项以后的项的值都接近于a，而这个接近程度就是通过之差小于ε来描述的。$就是数列第N项以后的项的值都接近于a，而这个接近程度就是通过之差小于\epsilon 来描述的。$

数列极限还是挺好理解的，再看下书上的例子就更容易明白了。

参考书籍和视频：

• 《高等数学》第7版同济大学
• 哈工大高等数学（工程数学分析）视频（尹逊波老师主讲）
• 天津大学蔡高厅老师高等数学189那个课程

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