二阶低通滤波器
1引入
为什么要用有源二阶滤波器？
(1)从有源来说
对于无源二阶低通滤波器：
其幅頻方程为：
我们从中可以看出其通带截止频率为
有其品质因子为0.372。
我们根据上图得到二阶无源低通滤波器的品质因子只有0.372，如果希望Q大于0.5，就需要在ω=ωo附近增大幅度响应。
实现这个目的的一种方法就是增加一个可控的正反馈控制量，这种反馈仅仅在ω=ωo附近奏效，参见下图：
对于ω/ωo<<1，C1的阻抗太大而无法反馈太多信号
对于ω/ωo>>1，C2产生的短路使得uo太小而无法起作用；
对于ω/ωo=1附近存在正反馈，可以通过改变Aup来进行调整，以获得要求的峰值。
(2)从二阶来说
我们可以看一下有源二阶滤波器和一阶有源低通滤波器的对数幅频响应特性图：
我们理想的特性是：当时输入信号频率大于通带截止频率时，放大倍数立刻降为0。但是，实际情况很难达到这样的情况。上图中的红线是一阶低通有源滤波电路，蓝线是二阶低通有源滤波电路。可以明显看到，二阶的更加接近理想特性曲线。在截止区，放大倍数下降的更快一些。
2介绍
任何高阶滤波器都可由一阶和二阶滤波器级联而成。因此一阶滤波器和二阶滤波器是高阶滤波器的基础。
二阶有源滤波器主要分为两种：
压控电源型（VCVS）——同相输入，输入阻抗很高，输出阻抗很低，滤波器相当于一个电压源，故称电压控制电压源电路。其优点是电路性能稳定、增益容易调节。
无限增益多路反馈型（MFB）——运放为反相输入，输出端通过C2R3形成两条反馈支路。其优点是电路有倒相作用，使用元件较少，但增益调节对其性能参数会有影响，故应用范围比VCVS电路要小。
3、设计方法
（1）品质因子Q的选择
- Q=0.707，构成巴特沃思滤波器（常用）
- Q=1/√3=0.577 ，构成贝塞尔滤波器。
- Q=1,切比雪夫滤波器。
（2）元器件的选择
在滤波器设计时，通常给定的设计指标： 截止频率fo、通带内增益Aup及滤波器品质因数Q（二阶通常取0.707）。仅有fo、Aup、Q这三个值求电路中所有的的RC值是相当困难的。比如我们要设计一个二阶压控低通滤波器，则有以下方程：
需先确定一个或几个元件值，再解方程，这是很繁琐的工作，为设计方法，引入查表法，实现快速设计。
4、例
（1）二阶有源压控低通滤波器
Q=0.707
Aup=1,R1=R2=R
C1=2QC，C2=C/2Q
CC：0.001µ～0.1µ
RC=R1+R2
RcCc防止振荡
巴特沃斯低通滤波器可用如下振幅的平方对频率的公式表示：
e是常数参数
2步骤
(1)分析通带截止频率和阻带起始频率
截止频率是指一个系统的输出信号能量开始大幅下降（在带阻滤波器中为大幅上升）的边界频率。
理想滤波器矩形系数是1，但是实际上是达不到的，所以就会存在一个过度频带。所以也就存在了通带截止频率和阻带起止频率。什么是通带截止频率和阻带截止频率。
(2)分析通带最大衰减和阻带最小衰减
)计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率wc。
MEMS陀螺的带宽为30HZ，从采样频率100HZ的数据序列中消除掉30HZ以上的噪声。巴特沃斯函数只是在ω=0处精确地逼近理想低通特性，在通带内随着ω增加，误差愈来愈大，在通带边界上误差最大，逼近特性并不很好，但是陀螺仪的有用输出信号本就在低频段，对通带边界的滤波要求不高，因此巴特沃斯滤波器就可以满足要求。要求巴特沃斯滤波器通带上限截止频率fc=30HZ，阻带下限截止频率fs=80HZ，通带最大衰减db，阻带最小衰减为db。由式(1)-(4)可得巴特沃斯低通滤波器为二阶。
(1)
(2)
(3)
(4)
用代替中的s得到去归一化后的滤波器传递函数为式(5)所示。
(5)
采用的低通滤波电路如图2所示，滤波增益为1，此电路传递函数如式(6)所示，只需将巴特沃斯滤波器的传递函数与此传递函数的系数一一对应即可以整定出滤波电路的参数。
图2 二阶低通滤波典型电路
(6)
式(5)与式(6)对比可得：
(7)
(8)
(9)
令C1=0.1uf，R2=R1= R3，解得R2=R1= R3=6.6K，C2=0.6uf，至此巴特沃斯滤波器构造完成。
MEMS陀螺的带宽为30HZ，从采样频率100HZ的数据序列中消除掉30HZ以上的噪声。巴特沃斯函数只是在ω=0处精确地逼近理想低通特性，在通带内随着ω增加，误差愈来愈大，在通带边界上误差最大，逼近特性并不很好，但是陀螺仪的有用输出信号本就在低频段，对通带边界的滤波要求不高，因此巴特沃斯滤波器就可以满足要求。要求巴特沃斯滤波器通带上限截止频率fc=30HZ，阻带下限截止频率fs=80HZ，通带最大衰减db，阻带最小衰减为db。由式(1)-(4)可得巴特沃斯低通滤波器为二阶。
(1)
(2)
(3)
(4)
用代替中的s得到去归一化后的滤波器传递函数为式(5)所示。
(5)
采用的低通滤波电路如图2所示，滤波增益为1，此电路传递函数如式(6)所示，只需将巴特沃斯滤波器的传递函数与此传递函数的系数一一对应即可以整定出滤波电路的参数。
图2 二阶低通滤波典型电路
(6)
式(5)与式(6)对比可得：
(7)
(8)
(9)
令C1=0.1uf，R2=R1= R3，解得R2=R1= R3=6.6K，C2=0.6uf，至此巴特沃斯滤波器构造完成。
参考文献：
https://wenku.baidu.com/view/61ce6B2Cb8f67c1cfad6b8ef.html
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