球体积公式推导（积分）

　

球的体积公式

球的体积

刚刚学了定积分的一点皮毛…来玩一玩

废话不多说，Let’s start

设球的半径为$R$R

我们把球（我们通过半球来考虑）切成好多好多（$n$n片）薄片，就是一个一个的圆，设圆的半径分别为$r$r

面积

$S\left(r\right)=\pi r^2$S(r)=πr2

到圆心距离为$x$x的圆的半径

$f\left(x\right)=\sqrt{R^2-x^2}$f(x)=R2−x2​

可以得到

$V=2{\int }_0^{R}S\left(f\right(x\left)\right)dx$V=2∫0R​S(f(x))dx

$=2{\int }_0^{R}S\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)dx$=2∫0R​S(R2−x2​)dx

$=2{\int }_0^R\pi (R^2-x^2)dx$=2∫0R​π(R2−x2)dx

$=2\pi ({\int }_0^R{R}^{2}dx-{\int }_0^R{x}^{2}dx)$=2π(∫0R​R2dx−∫0R​x2dx)

$=2\pi (R^3-{\int }_0^R{x}^{2}dx)$=2π(R3−∫0R​x2dx)

下面我们来看以下$g\left(x\right)$g(x)如何解决

$g\left(x\right)={\int }_0^R{x}^{2}dx$g(x)=∫0R​x2dx

$=\underset{}{\lim }\sum _{i=1}^n(\frac{iR}{n}{)}^2\times \frac{R}{n}$=n→∞lim​i=1∑n​(niR​)2×nR​

$=\underset{}{\lim }\frac{R^3}{n^3}\sum _{i=1}^n{i}^2$=n→∞lim​n3R3​i=1∑n​i2

$=\underset{}{\lim }\frac{R^3}{n^3}\times \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$=n→∞lim​n3R3​×61​n(n+1)(2n+1)

$=\underset{}{\lim }\frac{R^3}{6}\times (2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})$=n→∞lim​6R3​×(2+n3​+n21​)

$=\frac{R^3}{3}$=3R3​

最后代入$V$V，大功告成

$V=2\pi (R^3-{\int }_0^R{x}^{2}dx)$V=2π(R3−∫0R​x2dx)

$=2\pi (R^3-\frac{R^3}{3})$=2π(R3−3R3​)

$=\frac{4}{3}\pi R^3$=34​πR3

其实算出了$V$V的公式，球的表面积公式就不攻自破了。

只要对$V$V求导就好了

为什么呢？因为一个球变大了很小很小的一点点，不就相当于多了一层表面积吗

$S=V^{\mathrm{\prime }}=4\pi R^2$S=V′=4πR2

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