指数分布

　

指数分布

指数分布

当一个随机变量$X$X ~ $exp\left(\lambda \right)$exp(λ)时，它的密度函数为：

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{\displaystyle \lambda e^{-\lambda x},(x\ge 0)}\\ {\displaystyle 0,(x\&lt;0)}\end{array}\mathrm{.}$f(x)={λe−λx,(x≥0)0,(x<0)​.

1 泊松分布

前面介绍伽马分布的时候介绍过，伽马分布族是泊松分布中参数与指数分布中参数的共轭先验分布族，同时，指数分布是伽马分布的特例。其实，指数分布与泊松分布有着密不可分的联系，这也是通常把指数分布与泊松分布中的参数一般都计作$\lambda$λ的原因。

随机变量$\xi$ξ服从参数为$\lambda$λ的$Poisson$Poisson分布，即$\xi$ξ~$P\left(\lambda \right)$P(λ),那么$\xi$ξ的分布列为：

$P(\xi =k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}(\lambda \&gt;0)\mathrm{.}$P(ξ=k)=k!e−λλk​(λ>0).

服从指数分布的随机变量$X$X是连续型随机变量；服从泊松分布的随机变量$\xi$ξ是离散型随机变量。$\xi$ξ的实际意义可以是单位时间内事件发生的个数(一种计数)，即$P(\xi =k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$P(ξ=k)=k!e−λλk​意味着: 单位时间内，特定事件发生的次数为$k$k的概率为$\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$k!e−λλk​.

简单使用级数，可以求出：

$E\left(\xi \right)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}=\lambda$E(ξ)=k=0∑∞​kk!e−λλk​=λ

即在服从$P\left(\lambda \right)$P(λ)的 $\xi$ξ 的密度函数表达式中，参数$\lambda$λ的意义是，单位时间内发生特定事件次数的期望值。可以将在时间 t 内发生事件的次数的随机变量可记为$N\left(t\right)$N(t), 则有$N\left(t\right)\sim P\left(\lambda t\right)$N(t)∼P(λt)，即：

$P\left(N\right(t)=k)=\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t{)}^k}{k!}(\lambda \&gt;0)\mathrm{.}$P(N(t)=k)=k!e−λt(λt)k​(λ>0).

将在两次事件发生之间的时间间隔的随机变量记为$T$T, 根据这个意义，$T$T为一个连续型随机变量。

$F_T\left(t\right)=P(T\le t)=1-P(T\&gt;t)=1-P\left(N\right(t)=0)=1-e^{-\lambda t}(t\ge 0)$FT​(t)=P(T≤t)=1−P(T>t)=1−P(N(t)=0)=1−e−λt(t≥0)

则：

$f_T\left(t\right)=\lambda e^{-\lambda t}(t\ge 0)$fT​(t)=λe−λt(t≥0)

事件发生的次数服从参数为$\lambda$λ的泊松分布，两次之间的时间间隔作为一个随机变量服从参数为$\lambda$λ指数分布。使用分部积分，可以求出随机变量$T$T的期望为：

$E\left(T\right)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t\lambda e^{-\lambda t}dt=\frac{1}{\lambda }$E(T)=∫0+∞​tλe−λtdt=λ1​

综上，可以理解参数$\lambda$λ的实际意义：$\lambda$λ是单位时间内发生事件个数的期望，两次事件发生之间的时间间隔的期望为$\frac{1}{\lambda }\mathrm{.}$λ1​.

2 生存分析

在生存分析中，生存时间的分布类型不易确定。一般近似服从指数分布、Weibull分布、Gompertz分布、对数正态分布、对数logistic分布等。除指数分布外，其他分布都在一定条件下呈现为“s型”生长曲线。

2.1 风险函数

在生存资料的分析中，可以使用 Cox 回归。上面定义随机变量 $T$T 为两次事件发生之间的时间间隔，在我们衡量一个病人可以生存的时间时(从起始事件到终点事件的时间)，可以使用 $T$T, 将其作为一个服从参数为 $\lambda$λ 的指数分布的随机变量。下面介绍生存分析中的因变量。

如果有n个病人，将这n个病人的生存时间的随机变量记为$T_1,T_2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},Tn$T1​,T2​,...,Tn, 则有$T_i$Ti​的密度函数：

$f_{T_i}\left(t_i\right)={\lambda }_i{e}^{-{\lambda }_i{t}_i},(i=1,2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},n)$fTi​​(ti​)=λi​e−λi​ti​,(i=1,2,...,n)

$T_i$Ti​的分布函数为：

$P(T_i\le t_i)=F_{T_i}\left(t_i\right)=1-{\lambda }_i{e}^{-{\lambda }_i{t}_i},(i=1,2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},n)$P(Ti​≤ti​)=FTi​​(ti​)=1−λi​e−λi​ti​,(i=1,2,...,n)

对应的生存函数为：

$S_{T_i}\left(t_i\right)=P(T_i\&gt;t_i)=1-F_{T_i}\left(t_i\right)=e^{-{\lambda }_i{t}_i},(i=1,2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},n)$STi​​(ti​)=P(Ti​>ti​)=1−FTi​​(ti​)=e−λi​ti​,(i=1,2,...,n)

风险函数为：

$h_{T_i}\left(t_i\right)=\frac{f_{T_i}\left(t_i\right)}{S_{T_i}\left(t_i\right)}={\lambda }_i$hTi​​(ti​)=STi​​(ti​)fTi​​(ti​)​=λi​

事实上，风险函数的分子部分是一个条件概率，求的是在一个病人已经生存到时间 t 的条件下在时间 t 的瞬时死亡率。风险函数值越大，瞬时死亡率越高，病人越危险。即：

$h\left(t\right)=\frac{f\left(t\right)}{S\left(t\right)}=\underset{}{\lim }\frac{F(t+\mathrm{△}t)-F\left(t\right)}{\mathrm{△}t}\mathrm{/}P(T\&gt;t)$h(t)=S(t)f(t)​=△t→0lim​△tF(t+△t)−F(t)​/P(T>t)

$=\underset{}{\lim }\frac{P(t\&lt;T\le t+\mathrm{△}t)\mathrm{/}P(T\&gt;t)}{\mathrm{△}t}$=△t→0lim​△tP(t<T≤t+△t)/P(T>t)​

$=\underset{}{\lim }\frac{P(t\&lt;T\le t+\mathrm{△}t\mathrm{\mid }T\&gt;t)}{\mathrm{△}t}$=△t→0lim​△tP(t<T≤t+△t∣T>t)​

如果要建立 Cox 回归模型，首先要计算出每个患者所对应的 $h_{T_i}\left(t_i\right)={\lambda }_i$hTi​​(ti​)=λi​, 在使用贝叶斯思想对${\lambda }_i$λi​ 进行参数估计时，可以用伽马分布(伽马分布中的参数估计可以再用均匀分布作为超先验分布)表示出${\lambda }_i$λi​ 的分布情况，然后使用合适的统计量(例如众数或者均数)进行估计。

2.2 威布尔分布

服从参数为$\lambda$λ与$k$k的两参数Weibull分布的随机变量$T$T的密度函数为：

$f\left(t\right)=\frac{k}{\lambda }(\frac{t}{\lambda }{)}^{k-1}{e}^{-(\frac{t}{\lambda }{)}^k},(t\ge 0)$f(t)=λk​(λt​)k−1e−(λt​)k,(t≥0)

很明显，当参数$k=1$k=1时，随机变量$T$T服从参数为$\frac{1}{\lambda }$λ1​的指数分布。指数分布是Weibull分布的特例。Weibull分布也广泛地应用于生存资料的分析中。但威布尔分布更广泛地适用于机械结构失效分析过程中，许多有关威布尔分布的研究表明，如果某系统的局部失效导致了整个系统的功能失灵，则这种系统寿命一般服从Weibull分布。

$T$T的分布函数为：

$P(T\le t)=F\left(t\right)=1-exp\{-(\frac{t}{k}{)}^k\},(t\ge 0)$P(T≤t)=F(t)=1−exp{−(kt​)k},(t≥0)

可靠度函数(对应于生存分析中的生存函数)为：

$R\left(t\right)=P(T\&gt;t)=1-F\left(t\right)=exp\{-(\frac{t}{k}{)}^k\}$R(t)=P(T>t)=1−F(t)=exp{−(kt​)k}

失效率函数(对应于生存分析中的风险函数)为：

$\lambda \left(t\right)=\frac{f\left(t\right)}{R\left(t\right)}=\frac{k}{\lambda }(\frac{t}{\lambda }{)}^{k-1}$λ(t)=R(t)f(t)​=λk​(λt​)k−1

2.3 对数正态分布

在介绍对数正态分布时，先介绍一个定理：

定理#： 已知随机变量$X$X的密度函数，且$t=g\left(x\right)$t=g(x)严格单调,其反函数$x=h\left(t\right)$x=h(t)有连续导函数，那么:

$f_T\left(t\right)=\{\begin{array}{c}{\displaystyle f_X\left[h\right(t\left)\right]\mid h^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)\mid ,(min\left\{g\right(-\mathrm{\infty }),g(+\mathrm{\infty }\left)\right\}\&lt;t\&lt;max\left\{g\right(-\mathrm{\infty }),g(+\mathrm{\infty }\left)\right\}}\\ {\displaystyle 0,\mathrm{其}\mathrm{他}}\end{array}$fT​(t)={fX​[h(t)]∣h′(t)∣,(min{g(−∞),g(+∞)}<t<max{g(−∞),g(+∞)}0,其他​

若随机变量$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),$X∼N(μ,σ2), 则随机变量$T=e^X$T=eX服从对数正态分布。 应用定理#，那么$T=e^X$T=eX的密度函数为：

$f\left(t\right)=\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{t\sqrt{2\pi }\sigma }exp\{-\frac{(\ln t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\},t\&gt;0}\\ {\displaystyle 0,t\le 0}\end{array}$f(t)=⎩⎪⎨⎪⎧​t2π​σ1​exp{−2σ2(lnt−μ)2​},t>00,t≤0​

$T$T的生存函数与风险函数与上面2.1一致。

2.4 log-logistic分布

随机变量$X$X服从logistic分布，则 $T=e^X$T=eX服从 log-logistic分布。这里选取一种logistic分布的特例进行解释。

随机变量$X$X的密度函数为：

$f\left(x\right)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x}{)}^2}$f(x)=(1+e−x)2e−x​

应用定理#,那么$T=e^X$T=eX的密度函数为：

$f\left(t\right)=\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{(1+t{)}^2},t\&gt;0}\\ {\displaystyle 0,t\le 0}\end{array}$f(t)=⎩⎪⎨⎪⎧​(1+t)21​,t>00,t≤0​

$T$T的生存函数与风险函数与上面2.1一致。

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指数分布的分布函数讲解

指数分布是连续型随机变量的连续型概率分布的一种，它主要应用在随机事件之间发生的时间间隔的概率问题。前面讲述的泊松分布是描述