「贝塞尔」贝塞尔曲线的绘制方法

贝塞尔

两年前调试全向轮底盘的时候，曾经用到过贝塞尔曲线做路径规划。今天同学突然问起这个东西，回查了一下当时的代码，觉得有必要写个博客备忘一下。

在数学的数值分析领域中，贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线。更高维度的广泛化贝济埃曲线就称作贝济埃曲面，其中贝济埃三角是一种特殊的实例。

贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

接下来简单介绍贝塞尔曲线的绘制方法。如下图，假设给定了控制点P0，P1，P2。这里我们需要做辅助点Q0和Q1，使得：

P0Q0：P0P1=P1Q1：P1P2=t，这里0≤t≤1。现在，我们可以简单理解为三个控制点P0，P1，P2 “降维” 成了两个控制点Q0，Q1。按照同样的方法，再取辅助点B使得Q0B：Q0Q1=t，这里的 t 和上次 "降维"时的 t 是相等的。现在，我们已经降维成了只有一个点，那么这个点B就是该贝塞尔曲线中的一点。

推广一下，我们考虑多个控制点的情景。对于4、5、6。。。n个控制点，首先选定一个比例 t ，以此按比例降维直到只有一个点，这个点就是比例 t 时贝塞尔曲线上的点。当把 t 从0到1按照一定比例依次选取时，就能绘制出一个贝塞尔曲线。

六个控制点的情形：

根据之前的描述，绘制贝塞尔曲线的过程可以用如下公式表述：

式中，j是降了多少次维，i是第i个控制点。由于每降维一次，控制点就减少一个，所以i的取值范围是（0，n-j）。

C#程序如下：

        //==========================根据t获取贝塞尔曲线上一个点===========================
        const int ControlPointNum = 10 ; //控制点数目
        Point[] ControlPoint = new Point[ControlPointNum]; //控制点
        Point[] WorkPoint = new Point[ControlPointNum];  //一块用于存放临时数据的空间
        /// <summary>
        /// 获取本轮计算终点坐标
        /// </summary>
        /// <param name="t">贝塞尔曲线生成过程中的百分比</param>
        /// <param name="n">本层迭代控制点数目</param>
        /// <returns></returns>
        Point GetfinalPoint(double t, int n)
        {
            if (n == 1)
            {
                return WorkPoint[0];
            }
            else
            {
                //计算下一阶的贝塞尔控制点
                for (int i = 0; i < n - 1; i++)
                {
                    WorkPoint[i].X = (int)(WorkPoint[i].X * (1 - t) + WorkPoint[i + 1].X * t);
                    WorkPoint[i].Y = (int)(WorkPoint[i].Y * (1 - t) + WorkPoint[i + 1].Y * t);
                }
                //进入下一层
                return GetFinalPoint(t, n - 1);
            }
        }
 //==========================根据t绘制曲线======================================
            for(int i=0;i<256;i++)
            {
                for (int j = 0; j < ControlPointNum; j++)//赋值控制点坐标至临时工作空间
                {
                    WorkPoint[j] = ControlPoint[j];
                }
                double t = (double)i/255.0;
                Point FinalPoint = GetFinalPoint(t,ControlPointNum);
                DrawPoint(FinalPoint);                  //调用绘图函数
            }

效果：

贝塞尔曲线的绘制方法

贝塞尔

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