圆上的定理 —— 圆周角定理与相交弦定理

　

圆周角定理

相交弦定理的证明需要用到圆周角定理。

1. 圆周角定理

• 圆周角定理：同（等）弧所对圆周角相等；

2. 相交弦定理

• 相交弦定理：指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等；

• 几何语言描述：

  若圆内任意弦AB、弦CD交于点P

  则 PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

相交线定理的证明：

证明：连结AC，BD

由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）

∴△PAC∽△PDB

∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD

注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。

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