零点定理与介值定理

零点定理

零点定理：

设函数$f\left(x\right)$f(x)闭区间$[a,b]$[a,b]内连续，且$f\left(a\right)$f(a)与$f\left(b\right)$f(b)异号(即$f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)\&lt;0$f(a)⋅f(b)<0)，则开区间$(a,b)$(a,b)内至少有一点$x$x，使$f\left(x\right)=0$f(x)=0

介值定理：

设函数$f\left(x\right)$f(x)在闭区间$[a,b]$[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

$f\left(a\right)=A\text{及}f\left(b\right)=B$f(a)=A及f(b)=B

则对于$A$A与$B$B之间的任意一个数$C$C，在开区间$(a,b)$(a,b)内至少有一点$x$x，使得$f\left(x\right)=C(a\&lt;x\&lt;b)$f(x)=C(a<x<b)

介值定理的推论：

在闭区间$[a,b]$[a,b]上连续的函数$f\left(x\right)$f(x)的值域为闭区间$[m,M]$[m,M]， 其中$m$m、$M$M依次为$f\left(x\right)$f(x)在$[a,b]$[a,b]上的最小值与最大值。

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