假设检验
在前一篇讲完概率分布后，我们再接再厉拿下假设检验，也就是大名鼎鼎的AB Testing。俗话说得好，再优秀的产品经理也跑不过一半AB测试。
抽样
数据分析中，虽然数据越多越齐越好，可是受限于各类因素的制约，我们并不能获取全部的数据。比如excel的性能限制，比如数据库不支持大文件导出、或者是无法全量进行的用户调研等。
抽样是一种应对方法，通过样本来推断总体，抽样结果提供的仅仅是相应总体特征的估计，「估计」这一点很重要。
抽样有很多方式，样本首要满足随机性。比如进行社会访谈，你不能只选择商场人流区，因为采访到的人群明显是同一类人群，反而会遗漏郊区和乡镇的人群，遗漏宅男，遗漏老人。
互联网产品中，抽样也无处不在，大名鼎鼎的AB测试就是一种抽样，选取一部分人群验证运营策略或者产品改进。通常筛选用户ID末尾的数字，比如末尾选择0～4，于是抽样出了50%的用户，这既能保证随机性，也能保证控制性。
毕竟抽样的目的是验证和检验，需要始终保证用户群体的完全隔离，不能用户一会看到老界面，一会看到改进后的新界面。以上也适用于推荐算法的冠军挑战，用户分群等。
至于放回抽样，分层抽样，在互联网的数据分析中用不太到，这里就略过了。
点估计
既然我们已经知道如何选择一个样本，接下来需要从样本推断总体。
列举一个场景。产品和运营人员每周都会进行一次用户调研，调研随机抽取30位用户对产品进行打分，分数0～10。根据历史数据计算出平均7.5分，标准差为1分。
现在的问题是，用户调研能否反应一些产品的状况？比如发布新版本，或者做了营销活动后，怎么判断是正面影响还是负面？假设本月产品经理们发布了一次新版本，这次调研抽取30位用户平均评分是7.3，究竟是正常的波动还是做糟糕了？
在统计学中，把总体的平均值标准差等称为总体参数，把样本的种种指标称为点估计量。s是样本标准差，σ是总体标准差。n是样本，N是总体。
点估计在原有的符号上加横线表示，比如样本均值
x拔是样本均值，现实中不可能保证每次调研的数据都是一致的，假设将抽样过程一而再，再而三的进行下去，那么调研获得的平均分也是波动的。此时，样本均值x拔是一个随机变量，称它的概率分布为x拔的抽样分布。
每次抽样得出的不同均值，必然会有一个期望值，E(x拔) = u，E(x拔)就是所有大量抽样的可能值的均值。对简单随机抽样，我们可以认为其数学期望等于u总体均值。当点估计量的期望值等于总体参数时，称为无偏估计。
当样本量占总体5%以上时，有求样本标准差公式如下：
当样本量占总体5%以下时，公式可以简化成：
研的用户量肯定小于总体5%，于是能求出样本的标准差为0.18。
上述数学期望和标准差的计算适用于所有总体，可如果想要知道具体的概率呢？比如分数小于等于7.3的可能性？如果是10%，那么说明这是稀少的情况，产品的改版未必尽如人意。如果是90%，说明这是数据的正常波动。
x拔作为概率分布，也非为正态分布和非正态分布。根据统计学中的中心极限定理，当样本数足够时（n>30），x拔的抽样分布可近似于正态分布。
只要是正态分布就好办了，把问题转换成标准正态分布的概率求解。调研样本评分x=7.3分，标准差σ为0.18。总体均值u为7.5分。
z = （7.3-7.5）／0.18 = -1.11。于是P(x<=7.3)=P(z<=-1.1) = 13.3%。上述结果说明，本次抽样得到7.3分（或者更低）的概率为13.3%，产品人员或许可以相信，这次改版并不好。
通过抽样估算总体，它的概率计算是以样本标准差作为依据的，换言之，如果样本标准差变化，则概率一定变化。而样本标准差和样本容量n息息相关。如果调研用户数是100位，那么哪怕其他数字没变化，最终概率也会变成2.2%。这是样本容量增加，均值的标准差减少了误差。
区间估计
点估计是用于估计总体参数的样本统计量，我们不可能通过点估计就给出总体参数的一个精确值，更稳妥的方法是加减一个边际误差，通过一个区间值来估计。
上文的用户调研案例，已经知道了总体均值和标准差。可是它的总体均值也只是通过历次调研作出的假设，并不能反应产品所有用户的评价。一个更实际的应用是，如何通过一次调研来计算用户的总体评价。这是反其道而行之。
通过调研的历史数据，已经知道了用户打分的标准差是1。最近产品人员进行了一次大规模的调研，访问了200位用户，得到样本均值7.5分。现在需要计算总体均值的区间。
通过点估计公式，可以得出样本标准差为0.07。在正态分布的经验公式中，已知任何正态分布的随机变量都有95%的值落在均值附近1.96个标准差以内。因此x拔的值一定有95%落在均值u的1.96个标准差以内。
此时，1.96个标准差等于1.96*0.07 = 0.13。利用总体均值的区间估计公式：
将数据代入：
这里多出了一个新的符号Zσ/2，称之为置信水平，之所以除2是因为正态分布左右对称。它代表的是「随机变量都有95%的值落在均值附近1.96个标准差以内」，即均值有95%的概率落在这个区间内，也叫做95%置信水平。推广开来，也有90%置信水平，99%置信水平等。
1.96是95%置信水平的Zσ/2值，我在上文已经求出边际误差为0.13，最后加入平均值得到答案7.36~7.64，于是可以说，通过调研样本均值估计，总体用户的打分有95%的概率在7.36～7.64之间。我们把[7.36,7.64]叫做置信区间。
大家可能也已经猜出来了，为了获得更高的置信水平，必然会得到更宽的置信区间。比如我假设一个置信区间是[7,8]，那么它的置信度肯定无限接近100，因为它几乎囊括了所有的可能。如何选择置信水平和区间，是数据分析中的要点之一。
区间估计中还有一种常见情况，即σ未知，上文的案例我们知道了总体的标准差，如果标准差也不知道呢？毕竟案例也只是以历史调研数据假设了标准差，未必反应了用户真实的情况。于是再给出一个新的问题，访问了200位用户，得到样本均值7.5分，标准差为2，那么总体均值是多少？
通过样本标准差估计总体标准差，总体均值是以t分布（上文对应的叫做z分布）的概率分布为依据。t分布假设抽样总体满足正态分布，但是非正态分布中，也是能用t的，效果不错。
t分布依赖一种叫自由度df的的参数。与标准正态分布曲线相比，df越小，t分布曲线愈平坦；df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。区间估计公式如下：
公式没有大的变化，总体标准差σ变化为样本标准差s，置信水平由t概率表计算。t概率的区间分布，需要自由度和置信水平两个参数。自由度=样本量-1，案例中的自由度为199。然后使用Excel的TINV( )函数计算，当置信水平为95%时，TINV(0.05,199)=1.97。代入公式：
得到区间[7.22,7.77]，在总体标准差未知的情况下，可以通过样本均值7.5和标准差2计算总体均值有95%的概率落在7.22～7.77之间。
假设检验
在熟悉掌握点估计和区间估计之后，深入学习假设检验。
何为假设检验？假设检验是对总体参数做一个尝试性的假设，该尝试性的假设称为原假设，然后定义一个和原假设完全对立的假设叫做备选假设。假设检验就是通过样本数据对两个对立假设进行检验。
假设检验有一套成熟的方法论。从参数看，即可以计算平均数，也可以计算比率。从样本看，可以划分为单样本和双样本。单样本是从总体中抽取一部分进行样本均数和总体均数的比较。用户调研就是一个典型的单样本。从假设的条件看，有单侧检验（仅大于或小于的可能性）和双侧（仅不可能，包含大于和小于两种情况）检验。
数据分析中更多的情况是两组样本的比较，譬如男女用户的差异、用户群体的差异、以及产品AB测试的好与坏。因为篇幅原因，案例将重点放在双样本检验中，单样本检验熟悉点估计和区间估计后不难。
回到最开始的案例，当通过调研发现用户对产品评分下降了，接下来得讨论怎么做。产品经理们说：用户都傻兮兮的，它们对产品改版无法作出有效的判断，所以打分不算数，应该用一套更好的判断方法。
这时以产品改版后的活跃相关指标作为标准，其中一半用户不做改变，还是原始功能，成为对照组。另外一半用户体验新功能，为改进组，然后根据一段时间后的表现来判断改版好与不好。
活跃指标怎么设立很大程度影响如何用假设检验。既可以用均值法，即用户平均使用时长，或一段时间窗口内的平均活跃用户数来衡量，也可以用比例法，即某一时间内的活跃率。两者对应不同的公式，这里以平均活跃用户数举例。
假设检验首先需要设立原假设和备选假设，这里很容易犯错。在许多假设检验中，都以备选假设为出现点，它是希望得到支持的结论。因为之前用户调研的评分是下降的，于是检验更希望「拒绝」活跃上升或不变，从而得出下降的结论。
原假设H0：活跃提升或不变；备选假设Ha：活跃下降。如果样本结果得出拒绝H0的结论，那么可以做出Ha为真的推断。
不同的样本量和总体方差使用的检验方法不同，下图是不同情况下使用的检验方法。样本是否大于小于30是因为中心极限定理，在大样本量，且总体方差未知时，使用t检验还是z检验均可，因为t分布近似于z分布。我们使用z检验做双样本均值。
将用户分割出两个群体体验产品功能，原始对照组和改进组都有50000用户。对照组的七日平均活跃数u1=8500，标准差为s1=1250，改进组的七日平均活跃数为u2=8300，标准差s2=1240。当总体标准差未知时，有公式：
计算出z=25.399，远大于1.96，p值无限接近0，几乎不可能发生，也就说明改进组的活跃上升或者等于是个极小概率事件，我们拒绝了原假设，接受了备选假设。若还想深入的查看活跃究竟下降了多少，使用双样本均值计算置信区间：
两个样本均值之差的95%置信区间为[183.566,215.433]。也就是说七日平均活跃数有95%的可能性下降了183～215之间。
假设检验的难点在于诸多知识点和业务的结合使用，限于文章的篇幅，我省略了不少概念点，这块需要大家多练习，比如用曾经文章的练习数据，计算上海和杭州的数据分析师工资均值是否相等，金融的工资是不是比电商的高。实际分析中不会有那么复杂的计算，我知道大家公式看晕了，不论Excel、R或者Python都有简便的函数使用，只要知道结果的符号意义就行了。
统计的内容告一段落了，这些都是比较基础的知识点，没有写得过于复杂，其一因为我统计本身不擅长（读书时没好好学），其二应用中我也不追求背后的数学原理。这大概是我写得最吃力的系列了。虽然还有时间序列，方差分析等内容，就留待以后吧。
下一篇文章写业务，因为历史文章已经涉及不少，反复讲没啥意思，所以一篇文章足矣，将数据中涉及的各类业务指标和知识点明即可。然后就是Python了。嗯，基础数据分析的内容已经倒计时了。
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