广义胡克定律
胡克定律是力学中的一个简单却重要的定律。胡克定律的发现者是英国人罗伯特.胡克（Robert Hooke）。胡克有许多成就，胡克定律也许是其中最广为人知的一项。胡克定律表述为：材料所受外力与材料变形量呈线性关系。
假如认为物体由分子组成，那么胡克定律体现了内部分子在没有外力情况下的一种稳定平衡状态。
一个简单的例子
最常用来作为例子的是弹簧方程。
F = - k * x
x表示弹簧长度变化量。F是弹簧所受的力。k是弹性系数，与弹簧属性有关。
注意的是，胡克定律成立的条件是所受力要在弹性极限内。如果施加大量的力给弹簧，直到弹簧不再可能恢复原状，这时的力就是极限。超过极限的情形无法用该方程刻画。
从能量的角度看，压缩的弹簧对自己做了负功。把一个弹簧压缩到量为x时，其做的能量大小为:
( k * x^2 ) / 2
这个结果是通过对弹簧方程从0到x积分得到的。
因为弹簧做的是负功，表示有外力对弹簧做功，弹簧积累了能量，叫做弹簧的弹性势能。而规定势能总是正的，所以一般也把弹簧的能量表示为正数，而不管弹性方程中的负号。
材料的物体特性
如果要把胡克定律推广到多维情况则有点复杂。在这里简单讲解一下物体的受力情况分析。当用力挤压一个材料时，如果与施力面的法线方向与受力方向同方向，叫做正向应力，一般用用sigma_xx, sigma_yy表示，相应的形变成为正应变，比如上例中施加在弹簧上的力。如果受力面的法线方向与施力方向正交，则称此力为剪应力（shear stress），一般用sigma_xy，sigma_yx来表示，相应的形变叫做剪应变。
定义杨氏模量(Young's modulus, E)等于在一个方向上拉伸材料时的正向应力(sigma)与正向形变(epsilon)的比值：
E = sigma / epsilon
杨氏模量表现了材料的物理性质，可以通过实验测定。它显示了材料的刚性，杨氏模量越大，材料越难以拉伸。
另一个我们感兴趣的问题是当我们在一个方向上拉伸（压缩）材料时，其与之正交的方向也会收缩（扩张）。实际上导致这个结果的原因正是同时存在正向应力和剪应力。为了刻画这个特点，定义了泊松比（Poisson's ratio, mu）。它是材料在拉伸或收缩时，其横向形变和纵向形变的比值。
杨氏模量和泊松比都可以通过实验测得。对于不可变形（undeformable）的材料这两个变量都等于零。可变形但不可压缩(incompressible)的材料的泊松比无限接近0.5，比如液体。一般固体的泊松比介于0至0.5之间，数值越小则说明刚性越大。
为什么液体的泊松比无限接近0.5？又要从体积模量(Bulk Modulus, K)谈起。体积模量也是一个常见的材料常数，它是指在材料的弹性范围内，受到压力而产生形变的量度。根据材料力学教科书的推导，K和杨氏模量E、泊松比mu之间又有如下关系：
K = E / ( 3 * (1 - 2 * mu))
因为在不可压缩材料中体积的改变量永远为零，没有任何压缩量，因而要把它压缩所需要的压强就是无穷大。在上面的等式中，K为无穷大的条件就是mu等于0.5，也就是泊松比必须等于0.5。
有了杨氏模量和泊松比之后，可以计算剪力模數(shear modulus, G)：
G = E / ( 2 * ( 1 + mu ) )
在实际计算中，知道了G, E或mu的任意两个，都可以计算剩下的一个。
剪力模數的意义是剪应力和剪应变的比值，应用的时候可以根据剪应力求剪应变，也可以反之。
各向同性的多维材料
首先我们考虑各向同性(isotropic)材料。在这种材料里，任何一点的力学性能沿空间的不同方向均不发生变化。例如铁块、玻璃等。
一维弹簧的杨氏模量当然就是k。二维则不一定相同，但是在各向同性材料中也是一样的。与杨氏模量相似，同系材料中无论任何方向的泊松比也是相同的。
假设x,y为两个正交的方向，epsilon表示伸长量，sigma表示应力。在弹性极限内，各向同性材料中，有:
epsilon_xx = ( sigma_xx - mu * sigma_yy ) / E
epsilon_yy = ( sigma_yy - mu * sigma_xx ) / E
epsilon_xy = sigma_xy / G
或者等价地：
sigma_x = E * ( epsilon_x + mu * epsilon_y ) / ( 1 - mu^2 )
sigma_y = E * ( mu * epsilon_x + epsilon_y ) / ( 1 - mu^2 )
sigma_xy = epsilon_xy * G
很容易可以推广到三维状态：
epsilon_x = ( sigma_x - mu * ( sigma_y + sigma_z ) ) / E
epsilon_y = ( sigma_y - mu * ( sigma_x + sigma_z ) ) / E
epsilon_z = ( sigma_z - mu * ( sigma_x + sigma_y ) ) / E
epsilon_xy = sigma_xy / G / 2
epsilon_xz = sigma_xz / G / 2
epsilon_yz = sigma_yz / G / 2
它们也被称为广义胡克定律。
广义胡克定律的矩阵形式为了更好地观察和化简以上方程，可以把它们写成矩阵形式,比如在二维情况下：
S = [ sigma_xy, sigma_yy, sigma_xy ]^T
E = [ epsilon_xx, epsilon_yy, epsilon_xy ]^T
C = [ E / ( 1 - mu^2 )，E * mu / ( 1 - mu^2 ), 0 ]
[ E * mu / ( 1 - mu^2 ), E / ( 1 - mu^2 ), 0 ]
[ 0, 0, 1 / G ]
S = C * E
中间其实是个常数矩阵，看作：
C = [ C11，C12, C13 ]
[ C21, C22, C23 ]
[ C31, C32, C33 ]
由以上分析可知，这是个特殊的对称矩阵，形如：
C = [ C11，C12, 0 ]
[ C12, C11, 0 ]
[ 0 , 0 , C33 ]
如果观察三维的情形，可以得到相似的结果：
S = [ sigma_xy, sigma_yy, sigma_zz, sigma_xy, sigma_xz, sigma_yz ]^T
E = [ epsilon_xx, epsilon_yy, epsilon_zz, epsilon_xy, , epsilon_xz, , epsilon_yz ]^T
C = [ C11，C12, C13, 0, 0, 0 ]
[ C12, C22, C23, 0, 0, 0 ]
[ C13, C23, C33, 0, 0, 0 ]
[ 0, 0, 0, C44, 0, 0 ]
[ 0, 0, 0, 0, C55, 0 ]
[ 0, 0, 0, 0, 0, C66 ]
S = C * E
各向异性的多维材料
在各向异性的多维材料中有一类叫正交材质，即在二维情形下有两个正交对称面，三维情况下是三个。比如树的枝杆在竖直方向和水平方向（横断面）上有不同的刚性，在横断面上又可以分解成两个独立不同的刚性方向上，所以木材就是三维正交各向异性的材料
令人惊讶的是，正交的各向异性的多维材料也有如上所说的S = C * E方程形式，区别是在各向同性材料方程的C中只有杨氏模量和泊松比两个独立变量，而三维正交各向异性材质中有九个，三维非正交各向异性材质中是十三个（上节中的C为非对称矩阵）。也可以说各向同性材料方程是各向异性的多维材料方程的一个特例。
八卦
胡克活跃在十七世纪中期，早就当上了英国皇家学会的秘书，后来因为批评青年牛顿的光学理论而卷入是非。十八世纪初牛顿成为了皇家学会会长，立即对胡克实施报复，他下令焚毁全部胡克手稿和画像，使人们至今无法知道胡克的真实模样。胡克终身未娶，晚年在疾病的折磨下郁郁而终。但是今天人们也没有忘记他，胡克定律就是最好的证明。
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文章最后发布于: 2011-08-30 09:16:55