黎曼积分
黎曼积分是逐项可积的，对于逐项不可积的函数黎曼积分无能为力，需要Lebsgue积分。本篇先从最基本的导数开始，然后到微分，最后到黎曼积分，下一篇讲述Lebsgue积分和实变函数的积分，后面再讲度量空间，泛函数与线性算子，最后到希尔伯特空间的几何算子。另外还增加《凸优化》的部分。
对于很多细节是忽略的，重点关注的是数学思想，而不是现有结论的重复论述。数学证明最能反映一个人的数学思维，而不是解题。数学应用也很关键，比如傅立叶变换在nlp中的应用：应用在无向图推理中，拉普拉斯矩阵的特征分解。应试教育培养出来的人思维僵化，注重解题，思维不开阔。对于一项结论，我们必须知道是如何来的，这个过程远远高于解题。数学和物理是一家，有很多数学公式的推导，都是从物理学中得到启发的，包括ai。上传本人的草稿：
最后部分：应用举例
微积分的本质：微分是因，积分是果。没有微分就没有积分，微分的核心思想是在微观领域，运用无限微元分割的手段达到极限时以直代曲。具体地，设有一点x，在x的不远处有一点y，运用极限思维，让y无限逼近x直到y是x附近的一点，此时满足以下两个关系：图在后面
第一个是一阶条件，第二个是x的梯度可以近似地用附近点的一阶差分来代替。更具体一些，用信号来解释，设在一段时间内输入信号x，把每个时间点看成自变量，信号是因变量。衡量输入信号x的变化率时，首先将信号输入时序分割，每段的变化率也就是微元x的梯度，用每段信号的差分与微分的比值来代替求解梯度。当x是向量时，y-x有特定的含义：它表示参数的搜索方向，亦代表方向向量，那么梯度和y-x的内积则代表方向导数。一阶条件在很多方面有着重要的应用。在《凸优化》的参数优化算法中，比如回溯直线搜索算法的收敛条件分析，主要考虑当参数趋近到最优解附近时的一阶条件，再比下面的例子，很好地阐释了微积分的本质：如何运用极限思维，离散化积分
一阶差分，二阶差分在凸优化的结构化约束中经常用到，比如控制参数的稳定性，让信号输入变化平稳一些。正确深入理解微积分，光学习一两本通用本科的数学是远远不够的。高等数学尤其是现代数学，领略思想精髓然后解决实际问题是关键，这点明显不同于高中数学。应用数学领域，首先要强化建模能力，其次是参数求解能力。后者涉及到算法优化，和计算机直接相关。
文章最后发布于: 2018-10-21 17:19:07