正多面体
最近看卡尔萨根的《宇宙》，看到了毕达哥拉斯和开普勒对正多面体的狂热。书中说正多面体只有五种， 并在附录中利用欧拉公式进行了证明。我觉得这个证明非常不直观，首先，欧拉公式不直观， 其次，后面利用欧拉公式的证明也不直观。 那有没有比较直观的证明方法呢？
提笔试了一下，可证， 而且更直观， 来看看：
根据正多面体的定义， 每个顶点处的面数必然相同，设为n, 而且每个面的边数必然相同，设为m.
考察其中任意一个顶点， 这个顶点上所有角之和必然小于360度 （这一点我放到本文的最后进行证明）
也就是说， 180(m-2)/m * n < 360 （这个不等式和之前博文介绍过的平面正多边形铺地问题何其相似）
化简得：2/m + 2/n > 1
显然: n>=3, m>= 3, 结合2/m + 2/n > 1得：n < 6, m < 6
故n=3,4,5, m=3,4,5, 且n和m不能同时为5, 也不能同时为4，也不能一个为4，一个为5，也不能一个为5，一个为4.
故有：n,m=
3,3
4,3
3,4
3,5
5,3
这些不就是下面这些正多面体吗？
最后，我们还得证明：每个顶点上所有角之和必然小于360度!
如图，考察三棱锥PABC（四棱锥等也同理）, 其中P是顶点， ABC是底面(为清晰起见， 我省略了C点)，作垂线PO垂直于面ABC, PO与面ABC相交于O，作PS垂直于AB, 交点为S, 连接SO
因为PO垂直于面AOB, 所以PO垂直于AB
又因为PS垂直于AB, 所以AB垂直于面PSO, 进而有AB垂直于SO
所以图中有很多直角三角形啊, 赶快用正切tan比较一下
可知：角AOS > 角APS, BOS > 角BPS,
所以有：角AOB > 角APB, 也就是说， 射影角 > 原角 （其实，感觉也能感觉得出来）
而所有射影角之和刚好是360度
所以：顶点上所有角之和必然小于360度！
故题目中的问题得证。
突然想到如下命题可证：
当伸出5个手指去抓瓜子时，必然有两个手指之间的夹角小于72度。
当伸出5个手指去抓大胸时，也必然有两个手指之间的夹角小于72度。