dct变换
一、DCT简介
此处，DCT指Discrete Cosine Transform，意思是离散余弦变换（下文均用DCT表示），其常见用途是对音视频进行数据压缩。维基百科上的解释：DCT以不同频率振荡的余弦函数之和来表示数据点的有限序列。
二、背景知识
DCT 将原始图像信息块转换成代表不同频率分量的系数集，这有两个优点：
其一，信号常将其能量的大部分集中于频率域的一个小范围内，这样一来，描述不重要的分量 只需要很少的比特数；
其二，频率域分解映射了人类视觉系统的处理过程，并允许后继的量化过程满足其灵敏度的要求。
（摘自：https://www.cnblogs.com/wengzilin/archive/2013/05/26/3100027.html ）
余弦函数是傅里叶变换中的实数部分。DCT与DFT（离散傅里叶变换）联系紧密。关于傅里叶变换的理解，强烈推荐 https://blog.csdn.net/wh8_2011/article/details/54862595
https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
三、一种通用DCT公式
下列公式摘自
https://wenku.baidu.com/view/cbef8856a8114431b80dd835.html
https://blog.csdn.net/qingkongyeyue/article/details/58082912
四、4种常用DCT公式总结
有些算法进一步将x_0和x_(N-1)乘以√2，并相应地将X_0和X_(N-1)乘以1/√2 。这可令DCT-I矩阵正交，如果进一步乘上一个总的缩放因子√(2/(N-1))，会打破与实偶DFT的直接对应关系。
DCT-I（总缩放因子可达到2）和一个有（2N-2）个实数的实偶对称的DFT完全等价。例如，一个有着N=5个实数abcde的DCT-I与有8个实数abcdedcb（实偶对称）的DFT完全等价（与此相对的是，DCT II-IV的等价DFT是偏移了半个样本点的）。
注意，DCT-I的N值不能少于2（其他DCT类型的N可以为任何正整数）。
因此，DCT-I对应的边界条件为，在n=0和n=N-1处，x_n都是偶对称的；X_k类似
DCT-II是最常用的形式，因此通常被简称为“the DCT”。
这种变换（总缩放因子可达到2）完全等价于4N个实数输入的实偶对称DFT（其偶数索引元素值为0）。也就是说，它是有4N个输入y_n的DFT的一半，其中，0≤n<N时，y_2n=0，y_(2n+1)=x_n，0<n<2N时，y_2N=0，y_(4N-n)=y_n。DCT-II也可能使用2N个信号，然后乘以半个移位。
有些算法进一步将X_0乘上1/√2，并将矩阵的结果乘上一个总的缩放因子√(2/N)（见DCT-III中相应的变化）。这可使得DCT-II矩阵正交，但是会打破和输入偏移半个点的实偶DFT的直接对应关系。
DCT-II的边界条件为：在n=-1/2和n=N-1/2处，x_n都是偶对称的；X_k在k=0和k=N处偶对称。
DCT-III（总缩放因子可达到√2）是DCT-II的逆，这一类型的DCT有时被简称为“IDCT”。
有些算法进一步将x_0乘上√2而不是2，然后将矩阵的结果乘上一个总缩放因子√(2/N)（见上文DCT-II的相应变化），因此DCT-II和DCT-III可以互相转换。这使得DCT-II的矩阵正交，但是破坏了和输出偏移半个点的实偶DFT的直接对应关系。
DCT-III的边界条件为：在n=0和n= N处，x_n都是偶对称的；X_k在k=-1/2和k= N-1/2处偶对称。
DCT-IV（完全对称，逆就是它本身）若进一步乘上总缩放因子√(2/N)就变成正交矩阵。
DCT-IV的边界条件：x_n在n=-1/2处偶对称，在n=N-1/2处奇对称。
参考自 https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform
四种dct变换公式的边界拓展情况示意图：
参考自 https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform .
五、问答区
1. 第0个余弦变换系数（u, v = 0时）和其他变换系数的系数不一样。第0个是直流系数的意思是什么？
答：当u,v=0时，DCT后的系数若为F(0,0) = 1，则IDCT后的重现函数f(x,y) = 1/8，是个常数值，故将F(0,0)称为直流（DC）系数；当u,v≠0时，DCT后的系数为F(u,v) = 0, IDCT后的重现函数f(x,y)不是常数，故将F(u,v)称为交流（AC）系数。
答案参考自 https://www.cnblogs.com/wengzilin/archive/2013/05/26/3100027.html （关于此答案，有一点疑惑，F(u,v)的取值一个为0，一个为1，可能影响问题的说明，暂不清楚是否为手误打错值了。）
2. DCT的待变换对象是离散的数据点序列，变换的结果也是离散的频率值。但是根据时域和频域理论，时域中的连续（周期性）在频域中表现为离散，时域中的离散在频域中表现为连续（周期性？）。所以DCT结果是对连续的频域做了近似截断处理？
答：（1）序列的N点离散傅里叶变换，时域和频域均看成周期为N的序列，即隐含周期性（关于隐含的周期性的理解可参见百度百科词条“离散傅里叶变换”）。因此DFT看成是离散傅里叶级数的主值区间。（参考自百度知道）
（2）离散傅里叶变换（DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。（参考自百度百科词条“离散傅里叶变换”）
3. 为什么二维变换可以用矩阵表示？
答：由于二维DCT的变换核同时具备可分性 【r(x,y,u,v)=r_1 (x,u)r_2 (y,v)】与对称性【r_1 (x,y)= r_2 (x,y)】，可以用两个一维变换来计算二维变换，即首先沿着输入的行（列）进行一维变换，接着用第一步得到的结果再对列（行）进行一维变换。当变换对的正反变换都满足这个条件时，且f(x,y)是大小为MxM的方形图像时，二维离散的正反变换都可以表示为矩阵形式：T=AF(A^T)，其中F表示f(x,y)的MxM矩阵。
注意：左乘为行变换，右乘为列变换，由于二维DCT变换核具有对称性，所以正反变换的公式形式是一样的。此外，DCT为正交变换，A为正交矩阵，即A^(-1)= A^T。公式推导：Y = AX(A^T), X =( A^T)YA = ( A^T) AX(A^T) A。
此答案部分参考自 https://blog.csdn.net/dugudaibo/article/details/78410570
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