从一到无穷大
1.数字游戏
大数
比较两个无穷大数的方法：
康托尔所提出的比较两个无穷大数的方法:我们可以给两组无穷大数列中的各个数一一配对。如果最后这两组都一个不剩，这两组无穷大就是相等的；如果有一组还有些数没有配出去，这一组就比另一组大些，或者说强些。
在无穷大的世界里，部分可能等于全部！
按照比较两个无穷大数的康托尔法则，我们还能证明，所有的普通分数如 3/7,375/8 等的数目和所有的整数相同。把所有的分数按照下述规则排列起来：先写下分子与分母之和为 2 的分数，这样的分数只有一个，即1/1；然后写下两者之和为 3 的分数，即2
/1和1/2；再往下是两者之和为 4 的，即3/1，2/2，1/3。这样做下去，我们可以得到一个无穷的分数数列，它包括了所有的分数。现在，在这个数列旁边写上整数数列，就得到了无穷分数与无穷整数的一一对应。可见，它们的数目又是相等的！
我们已经证明过，所有分数的数目和所有整数的数目相等，所以，所有循环小数的数目必定与所有整数的数目相等。但是，一条线段上的点不可能完全由循环小数表示出来。绝大多数的点是由不循环的小数表示的。因此就很容易证明，在这种情况下，一一对应关系是无法建立的。
线上的点数所构成的无穷大数大于（或强于）所有整数或分数所构成的无穷大数。
1 寸长的线段也好，1 尺长的线段也好，1 里长的线段也好，上面的点数都是相同的
平面上所有的点数和线段上所有的点数相等
假定线段上某点的位置是 0.75120386…。我们可以把这个数按奇分位和偶分位分开，组成两个不同的小数：
0 . 7 1 0 8…和0 . 5 2 3 6…以这两个数分别量度正方形的水平方向和垂直方向的距离，便得出一个点，这个点就叫做原来线段上那个点的“对偶点”。反过来，对于正方形内的任意一点，比如说由 0.4835…和 0.9907…这两个数描述的点，我们把这两个数掺到一起，就得到了线段上的相应的“对偶点”0.49893057…。很清楚，这种做法可以建立那两组点的一一对应关系。线段上的每一个点在平面上都有一个对应的点，平面上的每一个点在线段上也有一个对应点，没有剩下来的点。因此，按照康托尔的标准，正方形内所有点数所构成的无穷大数与线段上点数的无穷大数相等。
用同样的方法，我们也容易证明，立方体内所有的点数和正方形或线段上的所有点数相等，只要把代表线段上一个点的无穷
小数分作三部分 ，并用这三个新小数在立方体内找“对偶点”就行了。和两条不同长度线段的情况一样，正方形和立方体内点数
的多少与它们的大小无关。
例如，我们可把数字0 . 7 3 5 1 0 6 8 2 2 5 4 8 3 1 2……分成下列三个新的小数：0 . 7 1 8 5 3…，0 . 3 0 2 4 1…，0 . 5 6 2 8 2…。尽管几何点的个数要比整数和分数的数目大，但数学家们还知道比它更大的数。事实上，人们已经发现，各种曲线，包括任何一种奇形怪状的样式在内，它们的样式的数目比所有几何点的数目还要大。因此，应该把它看作是第三级无穷数列。
数目字（包括无穷大数）的数列就成为1，2，3，4，5，…ℵ 1 ，ℵ 2 ，ℵ 3 …
自然数和人工数
质数的数目是无穷无尽、没有终极的呢，还是存在一个最大的质数，即凡是比这个最大质数还大的数都可以表为几个质数的乘积呢？这个问题是欧几里得（Euclid） * 最先想到的，他自己还作了一个简单而优美的证明，证明没有“最大的质数”，质数数目的延伸是不受任何限制的。为了研究这个问题，不妨暂时假设已知质数的个数是有限的，最大的一个用 N 表示。现在让我们把所有已知的质数都乘起来，再加上 1。这写成数学式是：（1×2×3×5×7×11×13×……×N）+1。这个数当然比我们所假设的“最大质数”N 大得多。但是，十分明显，这个数是不能被到 N 为止（包括 N 在内）的任何一个质数除尽的，因为从这个数的产生方式就可以看出，拿任何质数来除它，都会剩下 1。因此，这个数要么本身也是个质数，要么是能被比 N 还大的质数整除。而这两种可能性都和原先关于 N 为最大质数的假设相矛盾。--反证法
从 1 到任何自然数N 之间所含质数的百分比，近似由N 的自然对数的倒数所表示。N 越大，这个规律就越精确
简单地说，一个数的自然对数，近似地等于它的一般对数乘以 2.3026
哥德巴赫（Goldbach）猜想：任何一个偶数都能表示为两个质数之和。
1621 年，费马在巴黎买了一本刁番图所著《算术学》的法文译本，里面提到了毕达哥拉斯三角形。当费马读这本书的时候，他在书上空白处作一些简短的笔记，并且指出，
+ = 有无穷多组整数解，而形如 + = 的方程，当 n 大于 2 时，永远没有整数解。他后来说：“我当时想出了一个绝妙的证明方法，但是书上的空白太窄了，写不完。”
第一个将负数的平方根这个“显然”没有意义的东西写到公式里的勇士，是 16 世纪的意大利数学家卡尔丹（Cardan）。在讨论是否有可能将 10 分成两部分，使两者的乘积等于 40 时，他指出，尽管这个问题没有任何有理解，然而，如果把答案写成 和 这样两个怪模怪样的表式，就可以满足要求了。这样，有人开了头，负数的平方根——卡尔丹给它起了个大号叫“虚数”
虚数构成了实数在镜子里的幻像。而且，正像我们从基数 1 可得到所有实数一样，我们可以把作为虚数的基数，从而得到所有的虚数。通常写作 i
a+bi 这种表示方法是卡尔丹发明的，而这种混成的表式通常称做复数
所有的实数（正数和负数）都对应于横轴上的点；而纯虚数则对应于纵轴上的点。当我们把位于横轴上的实数 3 乘以虚数单位i 时，就得到位于纵轴上的纯虚数 3i。因此，一个数乘以 i，在几何上相当于逆时针旋转 90°
如果把 3i 再乘以 i，则又须再逆转 90°，这一下又回到横轴上，不过却位于负数那一边了，因为3i × i = -3，或= -1
依靠-1 的平方根这个虚数，人们还找到了另一个宝藏，这就是发现普通的三维空间可以和时间结合，从而形成遵从四维几何学规律的四维空间。
2.空间、时间与爱因斯坦
三个互相垂直的独立方向的存在，描述了我们所处的物理空间的最基本的性质之一；我们说，这个空间是三个方向的，即三维的。空间的任何位置都可利用这三个方向来确定。
从其他任何地方来判别同一目标的方位时，只要采用一套能正确表达新出发点和目标之间的关系的坐标就行了。并且，只要知道新、老坐标系统的相对位置，就可以通过简单的数学运算，用老坐标来表示出新坐标。这个过程叫做坐标变换。
几种用三个坐标表示空间中某一点的位置的方法：
其中有的坐标是距离，有的坐标是角度。但不论什么系统，都需要三个数。因为我们所研究的是三维空间。
作为一种三维的生物。我们觉得很容易理解线和面的几何性质，这是因为我们能“从外面”观察它们。但是，对三维空间的几何性质，就不那么容易了，因为我们是这个空间的一部分。这个原因解释了为什么我们不费什么事就理解了曲线和曲面的概念，而一听说有弯曲的三维空间就大吃一惊。
空间的许多最基本的性质，根本用不着测量长度和角度。几何学中有关这一类内容的分支叫做拓扑学。
比如说一个球面，它被一些线分成许多区域。我们可以这样做：在球面上任选一些点，用不相交的线把它们连接起来。那么，这些点的数目、连线的数目和区域的数目之间有什么关系呢？
我们现在可以将这个划分好的球的每一区域都展平，这样，球体就变成了多面体，相邻区域的界线变成了棱，原先挑选的点就成了顶点。这样一来我们刚才那个问题就变成（本质上没有任何改变）：一个任意形状的多面体的面、棱和顶点的数目之间有什么关系？
研究一下就会发现，顶点数和面数之和总是比棱数大 2。因此，我们可以写出这样一个关系式：V + F = E + 2
这个关系是 17 世纪法国的大数学家笛卡儿（René Descartes）最先注意到的，它的严格证明则由另一位数学大师欧拉作出。这
个定理现在被称为欧拉定理。
为了证明欧拉的公式，我们可以把给定的简单多面体想像成用橡皮薄膜作成的中空体（图 15a）。如果我们割去它的一个面，
然后使它变形，把它摊成一个平面（图 15b）。当然，这么一来，面积和棱间的角度都会改变。然而这个平面网络的顶点数和边数都与原多面体一样。而多边形的面的数目则比原来多面体的面数少了一个（因为割去了一个面）。下面我们将证明，对于这个平面网络，V-E +F = 1。这样，在加上割去的那个面以后，结果就成为：对于原多面体，V–E + F = 2。
首先，我们把这个平面网络“三角形化”，即给网络中不是三角形的多边形加上对角线。这样，E 和 F 的数目都会增加。但由于每加一条对角线，E 和 F 都增加 1，因此 V–E + F 仍保持不变。这样添加下去，最后，所有的多边形都会变成三角形（图15c）。在这个三角形化了的网络中，V–E + F 仍和三角形化以前的数值一样，因为添加对角线并不改变这个数值。
有一些三角形位于网络边缘，其中有的（如△ABC）只有一条边位于边缘，有的则可能有两条边。我们依次把这些边缘三角形的那些不属于其他三角形的边、顶点和面拿掉（图 15d）。这样，从△ABC，我们拿去了 AC 边和这个三角形的面，只留下顶点 A，B，C 和两条边 AB，BC；从△DEF,我们拿去了平面、两条边 DF，FE 和顶点 F。
在△ABC 式的去法中，E 和 F 都减少 1，但 V 不变，因而 V–E + F 不变。在△DEF 式的去法中，V 减少 1，E 减少 2，F 减少 1，因而V – E + F 仍不变。以适当方式逐个减少这些边缘三角形，直到最后只剩下一个三角形。一个三角形有三条边、三个顶点和一个面。对于这个简单的网络，V–E + F = 3-3+1 = 1。我们已经知道，V–E + F 并不随三角形的减少而改变，因此，在开始的那个网络中，V–E + F 也应该等于 1。但是，这个网络又比原来那个多面体少一个面，因此，对于完整的多面体，V–E + F =2。这就证明了欧拉的公式。
欧拉公式的一条有趣的推论就是：只可能有五种正多面体存在，就是图 14 中那五种。
在用数学推理证明欧拉定理时，我们都作了一个内在的假设，它使我们在选择多面体时受了相当的限制。这个内在假设就是：多面体必须没有任何透眼。所谓透眼，不是气球上撕去一块后所成的形状，而是像面包圈或橡皮轮胎正中的那个窟窿的模样。
在第一个几何体上，可数出 16 个顶点、32 条棱和 16 个面；这样，V+F = 32，而 E+2 = 34，不对了。第二个有 28 个顶点、60
条棱和 30 个面；V+F = 58，E+2 = 62，这就更不对了。
我们以前所考虑到的多面体可以看成一个球胆或气球，而现在这种新型多面体却应看成橡皮轮胎或更为复杂的橡胶制品。对于这类多面体，无法进行上述证明过程所必需的步骤——“割去它的一个面，然后使它变形，把它摊成一个平面。”
一般说来，V + F = E + 2-2N，N 表示透眼的个数。
另一个典型的拓扑学问题与欧拉定理密切有关，它是所谓“四色问题”。假设有一个球面划分成若干区域；把这球面涂上颜
色，要求任何两个相邻的区域（即有共同边界的区域）不能涂上同一种颜色。问完成这项工作，最少需要几种颜色？
（这个证明计算机证明了，人证仍未成功，但是已经证明有五种颜色就够了）
到目前为止，我们所讨论的都是各种曲面，也就是二维空间的拓扑学性质。我们同样也可以对我们生存在内的这个三维空间
提出类似的问题。这么一来，地图着色问题在三维情况下就变成了：用不同的物质制成不同形状的镶嵌体，并把它们拼成一块，使得没有两块同一种物质制成的子块有共同的接触面，那么，需要用多少种物质？
什么样的三维空间对应于二维的球面或环状圆纹曲面呢？能不能设想出一些特殊空间，它们与一般空间的关系正好同球面或
环状面与一般平面的关系一样？乍一看，这个问题似乎提得很没有道理，因为尽管我们能很容易地想出许多式样的曲面来，但却
一直倾向于认为只有一种三维空间即我们所熟悉并在其中生活的物理空间。然而，这种观念是危险的，有欺骗性的。只要发动一
下想像力，我们就能想出一些与欧几里得几何教科书中所讲述的空间大不相同的三维空间来。
想象从外部看到的三维空间
要想像这样一些古怪的空间，主要的困难在于，我们本身也是三维空间中的生物，我们只能“从内部”来观察这个空间，而不能像在观察各种曲面时那样“从外面”去观察。不过，我们可以通过做几节脑筋操，使自己在征服这些怪空间时不致过于困难。
首先让我们建立一种性质与球面相类似的三维空间模型。球面的主要性质是：它没有边界，但却具有确定的面积：它是弯曲的，自我封闭的。能不能设想一种同样自我封闭，从而具有确定体积而无明显界面的三维空间呢？
设想有两个球体，各自限定在自己的球形表面内，如同两个未削皮的苹果一样。现在，设想这两个球体“互相穿过”，沿外表
面粘在一起。当然，这并不是说，两个物理学上的物体如苹果，能被挤得互相穿过并把外皮粘连在一起。苹果那怕是被挤成碎块，也不会互相穿过的。
我们不如设想有个苹果，被虫子吃出弯曲盘结的隧道来。要设想有两种虫子，比如说一种黑的和一种白的；它们互相憎恶、互相回避，因此，苹果内两种虫蛀的隧道并不相通，尽管在苹果皮上它们可以从紧挨着的两点蛀食进去。这样一个苹果，被这两条虫子蛀来蛀去，就会像图 18 那样，出现互相紧紧缠结、布满整个苹果内部的双股隧道。但是，尽管黑虫和白虫的隧道可以很接近，要想从这两座迷宫中的任一座跑到另一座去，却必须先走到表面才行。如果设想隧道越来越细，数目越来越多，最后就会在苹果内得到互相交错的两个独立空间，它们仅仅在公共表面上相连。
如果从外面观察整个结构，你可以说，在这迷宫里行走的人总会回到出发点，只不过是由于楼道逐渐弯曲成球形。但是对于处在内部、而且不知“外面”为何物的人来说，这个空间就表现为具有确定大小而无明确边界的东西。我们在下一章将会看到，这种没有明显边界、然而并非无限的“自我封闭的三维空间”在一般地讨论宇宙的性质时是非常有用的。事实上，过去用最强大的望远镜所进行的观察似乎表明了，在我们视线的边缘这样远的距离上，宇宙好像开始弯曲了，这显示出它有折回来自我封闭的明显趋势，就像那个被蛀食出隧道的苹果的例子一样。不过，在研究这些令人兴奋的问题之前，我们还得再知道空间的其他性质。
下一个问题是：能否把一只被虫子蛀过的苹果变成一个面包圈。让我们取一只前面讲过的“双苹果”，也就是两个“互相穿过”并且表皮“粘连在一起”的苹果。假设有一只虫子在其中一只苹果里蛀出了一条环形隧道，如图 19 所示。记住，是在一只苹果里蛀的。所以，在隧道外的每一点都是属于两个苹果的双重点，而在隧道内则只有那个未被蛀过的苹果的物质。这个“双苹果”现在有了一个由隧道内壁构成的自由表面（图19a）。
如果假设苹果具有很大的可塑性，怎么捏就怎么变形。在要求苹果不发生裂口的条件下，能否把这个被虫子蛀过的苹果变成面包圈呢？为了便于操作，可以把苹果切开，不过在进行过必要的变形后，还应把原切口粘起来。
首先，我们把粘住这“双苹果”的果皮的胶质去除，将两个苹果分开（图 19b）。用Ⅰ和Ⅰ′这两个数字表示这两张表皮，以便在下面各步骤中盯住它们，并在最后重新把它们粘起来。然后，把那个被蛀出一条隧道的苹果沿隧道切开（图 19c）。这一下又切出两个新面来，记之以Ⅱ，Ⅱ′和Ⅲ，Ⅲ′，将来，还是要把它们粘回去的。现在，隧道的自由面显示出来了，它应该成为面包圈的自由面。好，现在就按图 19a 的样子来摆弄这几块零碎儿。现在这个自由面被拉伸成老大一块了（不过，按照我们的假定，这种物质是可以任意伸缩的！）。而切开的面Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的尺寸都变小了。与此同时，我们也对第二个苹果进行手术，把它缩小成樱桃那么大。现在开始往回粘。第一步先把Ⅲ，Ⅲ′粘上，这很容易做到，粘成后如图 19e 所示。第二步把被缩小的苹果放在第一个苹果所形成的两个夹口中间。收拢两夹口，球面Ⅰ就和Ⅰ′重新粘在一起，被切开的面Ⅱ和Ⅱ′也再结合起来。这一来，我们就得到了一个面包圈，光溜溜的，多么精致！（这有助于理解弯曲空间和自我封闭空间这类不寻常的东西。）
想象你自己也是个面包圈，那么，现在试试按照图 19的逆过程把它翻回去——把你的身体（在思维中）变成内部有一条通道的双苹果。你会发现，你身体中各个彼此有些交错的部分组成了这个“双苹果”的果体，而整个宇宙，包括地球、月亮、太阳和星辰，都被挤进了内部的圆形隧道！
左手系和右手系物体，以及它们与空间的一般性质的关系
在礼帽和茶杯等一类物体上都存在一个对称面，沿这个面可将物体切成两个相等的部分。手套和鞋子就不存在这种对称面。你不妨试一试，无论怎么切，你都不能把一只手套割成两个相同的部分。如果某一类物体不具有对称面，我们就说它们是非对称的，而且就能把它们分成两类——左手系的与右手系的。这两系的差别不仅在手套这些人造的物体上表现出来，在自然界中也经常存在。例如，存在着两种蜗牛，它们在其他各个方面都一样，唯独给自己盖房子的方式不同：一种蜗牛的壳呈顺时针螺旋形，另一种呈逆时针螺旋形。就是在分子这种组成一切物质的微粒中，也像在左、右手手套和蜗牛壳的情况中一样，往往有左旋和右旋两种形态。当然，分子是肉眼看不见的，但是，这类分子所构成的物质的结晶形状和光学性质，都显示出这种不对称性。例如，糖就有两类：左旋糖和右旋糖；还有两类吃糖的细菌，每一类只吞吃与自己同类的的糖，信不信由你。
从上述内容看来，要想把一个右手系物体（比如说一只右手套）变成左手系物体，似乎是完全不可能的。真的是这样吗？能不能想像出某种可以实现这种变化的奇妙空间呢？让我们从生活在平面上的扁片人的角度来解答这个问题，因为这样做，我们能站在较为优越的三维的地位上来考察各个方面。请看图 22，图上描绘了扁片国——即仅有两维的空间——的几个可能的代表。那个手里提着一串葡萄站立的人可以叫做“正面人”，因为他只有“正面”而没有“侧身”。他旁边的动物则是一头“侧身驴”，说得更严格一点，是一头“右侧面驴”。当然，我们也能画出一头“左侧面驴”来。这时，由于两头驴都局限在这个面上，从两维的观点来看，它们的不同正如在三维空间中的左、右手手套一样。你不能使左、右两头驴头并头地叠在一起，因为如果要它们鼻子挨着鼻子、尾巴挨着尾巴，其中就得有一头翻个肚皮朝天才行，这样，它可就四脚朝天，无法立足罗。
不过，如果把一头驴子从面上取下来，在空间中掉转一下，再放回面上来，两头驴子就都一样了。与此相似，我们也可以说，如
果把一只右手手套从我们这个空间中拿到四维空间中，用适当的方式旋转一下再放回来，它就会变成一只左手手套。但是，我们这个物理空间并没有第四维存在，所以必须认为上述方法是不可能实现的。那么，有没有别的方法呢？
让我们还回到二维世界上来。不过我们要把图 22 那样的一般平面，换成所谓莫比乌斯（Möbius）面。这种曲面是以一个世纪以前第一个对这种面进行研究的德国数学家来命名的。它很容易得到：拿一长条普通纸，把一端拧一个弯后，将两端对粘成一个环。从图 23 上可看出这个环该如何做。这种面有许多特殊的性质，其中有一点是很容易发现的：拿一把剪刀沿平行于边缘的中线剪一圈（沿图 23 上的箭头），你一定会预言，这一来会把这个环剪成两个独立的环；但做一下看看，你就会发现你想错了：得到的不是两个环，而是一个环，它比原来那个长一倍，窄一半！
让我们看看，一头扁片驴沿梅比乌斯面走一圈会发生什么。假定它从位置 1（图 23）开始。这时看来它是头“左侧面驴”。从图上可清楚地看出，它走啊走，越过了位置 2，位置 3，最后又接近了出发点。但是，不单是你觉得奇怪，连它自己也觉得不对劲，它竟然处在蹄子朝上的古怪位置。当然它能在面内转一下，蹄子又落了地，但这样一来，头的方向又不对了。
总之，当沿莫比乌斯面走一圈后，我们的“左侧面驴”变成了“右侧面驴”。要记住，这是在驴子一直处在面上而从未被取出来在空间旋转的情况下发生的。于是我们发现，在一个扭曲的面上，左、右手系物体都可在通过扭曲处时发生转换。图 23 所示的莫比乌斯面是被称作“克莱茵瓶”的更一般性的曲面的一部分（克莱茵瓶如图 23 右边所示）。这种“瓶”只有一个面，它自我封闭而没有明显的边界。如果这种面在二维空间内是可能的，那么，同样的情况也能在三维空间中发生，当然，这要求空间有一个适当的扭曲。要想像空间中的莫比乌斯扭曲自然决非易事。我们不能像看扁片驴那样从外部来看我们自己的这个空间，而从内部看又往往是看不清的。但是，天文空间并非不可能自我封闭，并有一个莫比乌斯式扭曲的。
如果情况确实如此，那么，环游宇宙的旅行家将会带着一颗位于右胸腔内的心脏回到地球上来。手套和鞋子制造商兴许能由简化生产过程而获得一些好处。因为他们只需制造清一式的鞋子和手套，然后把一半产品装入飞船，让它们绕行宇宙一周，这样它们就能套进另一边的手脚了。
四维世界
时间是第四维
我们不可能将一个三维物体压进一个平面那样。不过且慢，我们确实可以在平面上画出三维物体来，因而在某种意义上可以说是将一个三维物体压进了平面。然而，这种压法可不是用水压机或诸如此类的物理力来实现，而是用“几何投影”的方法进行的。用这两种方法将物体（以马为例）压进平面的差别，可以立即从图 24 上看出来。
用类比的方法，现在我们可以说，尽管不能把一个四维物体完完全全“压进”三维空间，但我们能够讨论各种四维物体在三维空间中的“投影”。不过要记住，四维物体在三维空间中的投影是立体图形，如同三维物体在平面上的投影是二维图形一样。
（未完待续）
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