「赌徒」赌徒破产问题

赌徒

有这么一个赌博游戏，赢一块钱的概论是a,输一块钱的概论是b ,也就是1-a。如果有一个赌徒，开始始有10块钱，他想一直赌呀赌，要么把钱全输光破产，要么赢到100块的时候收手。那么现在问他能赢到在100块的可能性是多少（或者概率是多少）？这就是著名的赌徒破产问题。

假设赌徒手里现在有10元钱，我们把赢到N元钱的概论记作Pr{N|10}。

我们可以知道：

P{N|0}=0, 明显你手里没有钱的时候，赢的概论是零

P{N|N}=1,你手里有N元钱，不用做任何事情，赢到N元钱的概论就是1

现在手里有10元钱，你下把要么是11块（赢），要么是9块（输），就像我们开头说了玩一把赢的概论是a,输的概率是1-a。把下一把综合起来，我们可以推导出：

Pr{N|10}=a*Pr{N|11}+(1-a)*Pr{N|9}

更通用一点，我们把10换成变量h

Pr{N|h}=a*Pr{N|h+1}+(1-a)*Pr{N|h-1}

因此Pr{N|h} (h指0到N之间的数）满足二阶线性递推关系，这种递推关系的多项式如下：

它有两个特征根1和r=(1-a)/a, 一般情况下，这两个根不同的话，它的通解就是这两个特征根的连续幂的组合，因此Pr{N|h}：

已知P{N|0}=0，P{N|N}=1，因此：

我们可以计算出如下：因此一个人手里有h元，要赢到N元的概率是如下：

这是两个根不同的情况，如果a=1/2,我们会发现刚才方程有两个重根了，不适合这个模型，但是在a=1/2的时候，我们能推出：

Pr{N|h}=h/N.

因此，你有10块钱的时候，要想赢100块钱的概率其实是1/10, 因此你想赢的越多，你的概率越小，想要无穷多的概率是0，因此不收手，最后一定是破产。