「无限循环小数」最长的循环节之有趣的无限循环小数

无限循环小数

如题：

1035 最长的循环节

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 20 难度：3级算法题

正整数k的倒数1/k，写为10进制的小数如果为无限循环小数，则存在一个循环节，求<=n的数中，倒数循环节长度最长的那个数，假如存在多个最优的答案，输出所有答案中最大的那个数。

1/6= 0.1(6) 循环节长度为1

1/7= 0.(142857) 循环节长度为6

1/9= 0.(1) 循环节长度为1

Input

输入n（10 <= n <= 1000)

Output

输出<=n的数中倒数循环节长度最长的那个数

Input示例

Output示例

题目分析

题目要求就是求<=n（ n∈[10,1000] ）的数中倒数循环节长度最长的那个数。

这就意味着我们要求出所有数的倒数的循环节长度（打表），然后逐一比较得出最长的那个数。

怎样打表？那我们就要参考康明昌老师一篇paper所给出的定理来分析一下。

首先看分母为7的循环小数表示式

把1/7的循环节142 857轮换排列：如果从2出发，得285 714，这是2/7的循环节；如果从4出发，得428 571，这是3/7的循环节。以此类推。

不知大家是否已经发现规律：(可以多举几组例子，这里我就只拿7举例了哈)

1.对于无限循环的小数，循环节长度只与分母有关？且长度小于分母？

2.对于同分母真分数的循环小数来说，循环节里出现的数字都是一样的，只是有不同的排列组合？

要得证我们首先得来看一个定理：（≡ 为同余符号）

定理1: 如果 1 ≤ b < a, a 沒有2或5的質因數, 並且 a 與 b 互質,

那麼 b/a 的循環節位數恰好等於e: min{ e ∈ N : 10^e ≡ 1 (mod a) }。

证明规律1：

由上面给出的定理可知，对于分数b/a，循环节位数 e = min{ e ∈ N : 10^e ≡ 1 (mod a) }.

即循环节长度e只由分母a决定；

又由费马小定理可知，对质数p（除了2、5。10是它们的倍数）有10^(p-1) mod p=1。

显然循环节长度最大为 p-1. 即循环节长度e必然小于分母p。

证明规律2：

因为： 1/7 = 0.142 857……

由定理1得： 10*(1/7）= 1.428 571……

因此： 3/7 = [10/7] = 0.428 571……

同理，考虑 [30/7] = 2/7，[20/7] = 6/7，[60/7] =4/7，[40/7] = 5/7，[50/7] = 1/7。得证!

3.另外我们要思考的是为什么定理中指出没有 2或5？

因为1/2=0.5、1/5=0.2，这些有限小数对循环节长度是不影响的。

举个例子：73/35 = 73/(5*7) = (2*73)/(10*7) = (1/10)·(146/7) = (1/10)·{20 + (6/7)}

因此, 对于分数73/35，其的循环节与 6/7 的循环节是一样的，都是 867142 …… 是不是很神奇

代码：

#include <iOStream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define NMAX 1001
using namespace std;
int n, res[NMAX];
void init(){                  //打表  定理：min{e|10^e ≡ 1(mod n),e∈N+}
    memset(res, -1, sizeof(res));
    res[1]=0;
    for (int i = 2; i < NMAX; ++i) {    //分母	只有分母影响循环节
        int t = i;
        while (t%5==0)                  //约去因子2和5	为有限小数
            t/=5;
        while (t%2==0)
            t/=2;
        if (res[t] != -1) {   //已算过
            res[i] = res[t];
            continue;
        }
        //未算过 即质数	
        //其实本质只需要计算所有分母为质数的循环节 质数的倍数的数(分母)的循环节位数===这个质数(分母)的循环节位数
        int x = 10;
        for (int j = 1; j <= i; ++j) {  //循环节位数 必小于分母
            x %= i;           //同定理 无影响(同余定理)
            if (x==1){
                res[i] = j;
                break;
            }
            x*=10;
        }
    }
}
int main(){
    init();
    while (cin>>n){
        int ans = 7;    //n>=10
        for (int i = 11; i <= n; ++i) {
            if (res[ans] <= res[i]) {
                ans = i;     //取max
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

有趣的小数我们就先讨论到这，更多关于循环节的定理知识大家可以去看循环节_维基百科。里面有相关定理证明以及更深入的探讨。

Over~

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