小波
题目：有关小波的几个术语及常见的小波基介绍
本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。
一、小波基选择标准
小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：
1、支撑长度
小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。
这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。
2、对称性
具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。
3、消失矩
在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
小波的消失矩的定义为，若
其中，Ψ(t)为基本小波，0<=p<N。则称小波函数具有N阶消失矩。从上式还可以得出，同任意n-1阶多项式正交。在频域内表示就是Ψ(ω)在ω=0处有高阶零点（一阶零点就是容许条件）。
4、正则性
在量化或者舍入小波系数时，为了减小重构误差对人眼的影响，我们必须尽量增大小波的光滑性或者连续可微性。因为人眼对“不规则”(irregular)误差比“平滑”误差更加敏感。换句话说，我们需要强加“正则性”(regularity)条件。也就是说正则性好的小波，能在信号或图像的重构中获得较好的平滑效果，减小量化或舍入误差的视觉影响。但在一般情况下，正则性好，支撑长度就长，计算时间也就越大。因此正则性和支撑长度上，我们也要有所权衡。
消失矩和正则性之间有很大关系，对很多重要的小波（比如，样条小波，Daubechies小波等）来说，随着消失矩的增加，小波的正则性变大，但是，并不能说随着小波消失矩的增加，小波的正则性一定增加，有的反而变小。
5、相似性
选择和信号波形相似的小波，这对于压缩和消噪是有参考价值的。
二、常见的小波基
以下列出的15种小波基是Matlab中支持的15种。
|
小波函数 |
Haar |
Daubechies |
Biorthogonal |
Coiflets |
Symlets |
Morlet |
Mexican Hat |
Meyer |
|
小波缩写名 |
haar |
db |
bior |
coif |
sym |
morl |
mexh |
meyr |
|
表示形式 |
haar |
db N |
biorNr.Nd |
coif N |
sym N |
morl |
mexh |
meyr |
|
举例 |
haar |
db3 |
bior2.4 |
coif3 |
sym2 |
morl |
mexh |
meyr |
|
正交性 |
有 |
有 |
无 |
有 |
有 |
无 |
无 |
有 |
|
双正交性 |
有 |
有 |
有 |
有 |
有 |
无 |
无 |
有 |
|
紧支撑性 |
有 |
有 |
有 |
有 |
有 |
无 |
无 |
无 |
|
连续小波变换 |
可以 |
可以 |
可以 |
可以 |
可以 |
可以 |
可以 |
可以 |
|
离散小波变换 |
可以 |
可以 |
可以 |
可以 |
可以 |
不可以 |
不可以 |
可以 但无FWT |
|
支撑长度 |
1 |
2N-1 |
重构:2Nr+1 分解:2Nd+1 |
6N-1 |
2N-1 |
有限长度 |
有限长度 |
有限长度 |
|
滤波器长度 |
2 |
2N |
Max(2Nr, 2Nd)+2 |
6N |
2N |
[-4, 4] |
[-5, 5] |
[-8, 8] |
|
对称性 |
对称 |
近似对称 |
不对称 |
近似对称 |
近似对称 |
对称 |
对称 |
对称 |
|
小波函数 消失矩阶数 |
1 |
N |
Nr-1 |
2N |
N |
- |
- |
- |
|
尺度函数 消失矩阶数 |
- |
- |
2N-1 |
- |
- |
- |
- |
|
小波函数 |
Gaus |
Dmeyer |
ReverseBior |
Cgau |
Cmor |
Fbsp |
Shan |
|
|
小波缩写名 |
gaus |
dmey |
rbioNr.Nd |
cgau |
cmor |
fbsp |
shan |
|
|
表示形式 |
gaus N |
dmey |
rbioNr.Nd |
cgau N |
cmor |
fbsp |
shan |
|
|
举例 |
gaus3 |
dmey |
rbio2.4 |
cgau3 |
cmor |
fbsp |
shan |
|
|
紧支撑正交性 |
无 |
无 |
无 |
无 |
无 |
无 |
无 |
|
|
紧支撑双正交性 |
无 |
无 |
有 |
无 |
无 |
无 |
无 |
|
|
连续小波变换 |
可以 |
不可以 |
可以 |
不可以 |
不可以 |
不可以 |
不可以 |
|
|
离散小波变换 |
不可以 |
可以 |
可以 |
不可以 |
不可以 |
不可以 |
不可以 |
|
|
对称性 |
对称 |
对称 |
对称 |
对称 |
对称 |
对称 |
对称 |
|
|
小波函数 消失矩阶数 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
|
尺度函数 消失矩阶数 |
- |
- |
Nr-1 |
- |
- |
- |
- |
- |
1、Haar小波
Haar，一般音译为“哈尔”。
Haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在t∈[0,1]范围内的单个矩形波。
Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。
在Matlab中输入命令waveinfo(‘haar’)可得到如下信息：
General characteristics: Compactlysupported
wavelet, the oldest and the simplestwavelet.
scaling function phi = 1 on [0 1] and 0otherwise.
wavelet function psi = 1 on [0 0.5], = -1on [0.5 1] and 0 otherwise.
Family Haar
Short name haar
examples haar is the same as db1
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 1
Filters length 2
Regularity haar is not continuous
Symmetry yes
Number of vanishing
moments for psi 1
2、Daubechies(dbN)小波(紧支集正交小波)
Daubechies，一般音译为“多贝西”。
Daubechies小波是由世界著明的小波分析学者Ingrid Daubechies(一般音译为英格丽·多贝西)构造的小波函数，我们一般简写成dbN，N是小波的阶数。小波函数Ψ(t)和尺度函数φ(t)中的支撑区为2N-1，Ψ(t)的消失矩为N。dbN小波具有较好的正则性，即该小波作为稀疏基所引入的光滑误差不容易被察觉，使得信号重构过程比较光滑。dbN小波的特点是随着阶次（序列N）的增大消失矩阶数越大，其中消失矩越高光滑性就越好，频域的局部化能力就越强，频带的划分效果越好，但是会使时域紧支撑性减弱，同时计算量大大增加，实时性变差。另外，除N=1外，dbN小波不具有对称性（即非线性相位），即在对信号进行分析和重构时会产生一定的相位失真。dbN没有明确的表达式（除了N=1外，N=1时即为Haar小波）。
在Matlab中输入命令waveinfo(‘db’)可得到如下信息：
General characteristics: Compactlysupported
wavelets with extremal phase and highest
number of vanishing moments for a given
support width. Associated scaling filtersare
Minimum-phase filters.
Family Daubechies
Short name db
order N N strictly positive integer
Examples db1 or haar, db4, db15
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 2N-1
Filters length 2N
Regularity about 0.2 N for large N
Symmetry far from
Number of vanishing
moments for psi N
3、Symlet(symN)小波(近似对称的紧支集正交小波)
Symlet小波函数是IngridDaubechies提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlet小波系通常表示为symN (N=2,3,…,8)。symN小波的支撑范围为2N-1，消失矩为N，同时也具备较好的正则性。该小波与dbN小波相比，在连续性、支集长度、滤波器长度等方面与dbN小波一致，但symN小波具有更好的对称性，即一定程度上能够减少对信号进行分析和重构时的相位失真。
在Matlab中输入命令waveinfo(‘sym’)可得到如下信息：
General characteristics: Compactlysupported wavelets with
least asymmetry and highest number ofvanishing moments
for a given support width.
Associated scaling filters are nearlinear-phase filters.
Family Symlets
Short name sym
Order N N = 2, 3, …
Examples sym2, sym8
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 2N-1
Filters length 2N
Regularity
Symmetry near from
Number of vanishing
moments for psi N
4、Coiflet(coifN)小波
根据R.Coifman的要求，Daubechies构造了Coiflet小波，它具有coifN (N=1,2,3,4,5)这一系列。Coiflet的小波函数Ψ(t)的2N阶矩为零，尺度函数φ(t)的2N-1阶矩为零。Ψ(t)和φ(t)的支撑长度为6N-1。Coiflet的Ψ(t)和φ(t)具有比dbN更好的对称性。
在Matlab中输入命令waveinfo(‘coif’)可得到如下信息：
General characteristics: Compactlysupported
wavelets with highest number of vanishing
moments for both phi and psi for a given
support width.
Family Coiflets
Short name coif
Order N N = 1, 2, …, 5
Examples coif2, coif4
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 6N-1
Filters length 6N
Regularity
Symmetry near from
Number of vanishing
moments for psi 2N
Number of vanishing
moments for phi 2N-1
5、Biorthogonal(biorNr.Nd)小波
为了解决对称性和精确信号重构的不相容性，引入了双正交小波，称为对偶的两个小波分别用于信号的分解和重构。双正交小波解决了线性相位和正交性要求的矛盾。由于它有线性相位特性，所以主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函娄进行重构。
双正交小波与正交小波的区别在于正交小波满足<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,kδl,m，也就是对小波函数的伸缩和平移构成的基函数完全正交，而双正交小波满足的正交性为<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,k，也就是对不同尺度伸缩下的小波函数之间有正交性，而同尺度之间通过平移得到的小波函数系之间没有正交性，所以用于分解与重构的小波不是同一个函数，相应的滤波器也不能由同一个小波生成。
该小波虽然不是正交小波，但却是双正交小波，具备正则性，同时也是紧支撑的，其重构支撑范围为2Nr+1，分解支撑范围为2Nd+1。biorNr.Nd小波的主要特征表现在具有线性相位特性。一般来说为了获得线性相位，需要降低对于正交性的局限，为此该双正交小波降低了对于正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波攻得了线性相位和较短支集的特性。
在Matlab中输入命令waveinfo(‘bior’)可得到如下信息：
General characteristics: Compactly supported
biorthogonal spline wavelets for which
symmetry and exact reconstruction are possible
withFIR filters (in orthogonal case it is
impossible except for Haar).
FamilyBiorthogonal
Shortname bior
OrderNr,Nd Nr = 1 , Nd = 1, 3, 5
r forreconstruction Nr = 2 , Nd = 2, 4, 6,8
d fordecomposition Nr = 3 , Nd = 1, 3, 5,7, 9
Nr = 4 , Nd = 4
Nr = 5 , Nd = 5
Nr = 6 , Nd = 8
Examples bior3.1,bior5.5
Orthogonal no
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 2Nr+1 forrec., 2Nd+1 for dec.
Filters lengthmax(2Nr,2Nd)+2 but essentially
biorNr.Nd ld lr
effective length effective length
of Lo_D of Hi_D
bior1.1 2 2
bior1.3 6 2
bior1.5 10 2
bior2.2 5 3
bior2.4 9 3
bior2.6 13 3
bior2.8 17 3
bior3.1 4 4
bior3.3 8 4
bior3.5 12 4
bior3.7 16 4
bior3.9 20 4
bior 4.4 9 7
bior5.5 9 11
bior6.8 17 11
Regularity for
psirec. Nr-1 and Nr-2 at theknots
Symmetry yes
Numberof vanishing
moments for psi dec. Nr
Remark: bior 4.4 , 5.5 and 6.8 are such that reconstruction and
decomposition functions and filters are close in value.
6、ReverseBior小波
由Biorthogonal而来，因此两者形式很类似。
在Matlab中输入命令waveinfo(‘bior’)可得到如下信息：
General characteristics: Compactly supported
biorthogonal spline wavelets for which
symmetry and exact reconstruction are possible
withFIR filters (in orthogonal case it is
impossible except for Haar).
FamilyBiorthogonal
Shortname rbio
OrderNd,Nr Nd = 1 , Nr = 1, 3, 5
r forreconstruction Nd = 2 , Nr = 2, 4, 6,8
d fordecomposition Nd = 3 , Nr = 1, 3, 5,7, 9
Nd = 4 , Nr = 4
Nd = 5 , Nr = 5
Nd = 6 , Nr = 8
Examples rbio3.1,rbio5.5
Orthogonal no
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 2Nd+1 forrec., 2Nr+1 for dec.
Filters lengthmax(2Nd,2Nr)+2 but essentially
rbioNd.Nr lr ld
effective length effective length
of Hi_D of Lo_D
rbio1.1 2 2
rbio1.3 6 2
rbio1.5 10 2
rbio2.2 5 3
rbio2.4 9 3
rbio2.6 13 3
rbio2.8 17 3
rbio3.1 4 4
rbio3.3 8 4
rbio3.5 12 4
rbio3.7 16 4
rbio3.9 20 4
rbio4.4 9 7
rbio5.5 9 11
rbio6.8 17 11
Regularity for
psirec. Nd-1 and Nd-2 at theknots
Symmetry yes
Numberof vanishing
moments for psi dec. Nd
Remark: rbio 4.4 , 5.5 and 6.8 are such that reconstruction and
decomposition functions and filters are close in value.
7、Meyer小波
Meyer小波的小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的，它不是紧支撑的，但它的收敛速度很快。
在Matlab中输入命令waveinfo(‘meyr’)可得到如下信息：
General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet.
Family Meyer
Shortname meyr
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support no
DWT possiblebut without FWT
FIR based APProximation provides FWT
CWT possible
Support width infinite
Effective support [-8 8]
Regularityindefinitely derivable
Symmetry yes
8、Dmeyer小波
Dmeyer即离散的Meyer小波，它是Meyer小波基于FIR的近似，用于快速离散小波变换的计算。
在Matlab中输入命令waveinfo(‘dmey’)可得到如下信息：
Definition: FIR based approximation of theMeyer Wavelet.
Family DMeyer
Short name dmey
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
9、Gaussian小波
Gaussian小波是高斯密度函数的微分形式，它是一种非正交与非双正交的小波，没有尺度函数。
在Matlab中输入命令waveinfo(‘gaus’)可得到如下信息：
Definition: derivatives of the Gaussian
probability density function.
gaus(x,n) = Cn * diff(exp(-x^2),n) wherediff denotes
the symbolic derivative and where Cn issuch that
the 2-norm of gaus(x,n) = 1.
Family Gaussian
Short name gaus
Wavelet name gaus”n”
Orthogonal no
Biorthogonal no
Compact support no
DWTno
CWT possible
Support width infinite
Effective support [-5 5]
Symmetry yes
n even ==> Symmetry
n odd ==> Anti-Symmetry
10、MexicanHat(mexh)小波
Mexican Hat函数为Gauss函数的二阶导数。因数它的形状像墨西哥帽的截面，所以我们称这个函数为墨西哥草帽函数。它在时域和频率都有很好的局部化，但不存在尺度函数，所以此小波函数不具有正交性。
在Matlab中输入命令waveinfo(‘mexh’)可得到如下信息：
Definition: second derivative of theGaussian
probability density function
mexh(x) = c * exp(-x^2/2) * (1-x^2)
where c = 2/(sqrt(3)*pi^{1/4})
Family Mexican hat
Short name mexh
Orthogonalno
Biorthogonal no
Compact support no
DWT no
CWT possible
Support width infinite
Effective support [-5 5]
Symmetry yes
11、Morlet小波
Morlet小波是高斯包络下的单频率正弦函数，没有尺度函数，是非正交分解。
在Matlab中输入命令waveinfo(‘morl’)可得到如下信息：
Definition:
morl(x) = exp(-x^2/2) * cos(5x)
Family Morlet
Short name morl
Orthogonal no
Biorthogonal no
Compact support no
DWT no
CWT possible
Support width infinite
Effective support [-4 4]
Symmetry yes
12、ComplexGaussian小波
属于一类复小波，没有尺度函数。
在Matlab中输入命令waveinfo(‘cgau’)可得到如下信息：
Definition: derivatives of the complexGaussian
function
cgau(x) = Cn * diff(exp(-i*x)*exp(-x^2),n)where diff denotes
the symbolic derivative and where Cn is aconstant
Family Complex Gaussian
Short name cgau
Wavelet name cgau”n”
Orthogonal no
Biorthogonal no
Compact support no
DWT no
Complex CWT possible
Support width infinite
Symmetry yes
n even ==> Symmetry
n odd ==> Anti-Symmetry
13、ComplexShannon Wavelets：shan
在Matlab中输入命令waveinfo(‘shan’)可得到如下信息：
Definition: a complex Shannon wavelet is
shan(x) =Fb^{0.5}*sinc(Fb*x)*exp(2*i*pi*Fc*x)
depending on two parameters:
Fb is a bandwidth parameter
Fc is a wavelet center frequency
The condition Fc > Fb/2 is sufficient toensure that
zero is not in the frequency supportInterval.
Family Complex Shannon
Short name shan
Wavelet name shan”Fb”-“Fc”
Orthogonal no
Biorthogonal no
Compact support no
DWT no
complex CWT possible
Support width infinite
14、ComplexFrequency B-Spline Wavelets (复高斯B样条小波)
样条函数（splinefunction）指一类分段（片）光滑、并且在各段交接处也有一定光滑性的函数，简称样条。
在Matlab中输入命令waveinfo(‘fbsp’)可得到如下信息：
Definition: a complex Frequency B-Splinewavelet is
fbsp(x) = Fb^{0.5}*(sinc(Fb*x/M))^M*exp(2*i*pi*Fc*x)
depending on three parameters:
M is an integer order parameter(>=1)
Fb is a bandwidth parameter
Fc is a wavelet center frequency
For M = 1, the condition Fc > Fb/2 issufficient to ensure
that zero is not in the frequency supportinterval.
Family Complex Frequency B-Spline
Short name fbsp
Wavelet namefbsp”M”-“Fb”-“Fc”
Orthogonal no
Biorthogonal no
Compact support no
DWT no
complex CWT possible
Support width infinite
15、ComplexMorlet小波
Morlet小波是一种单频复正弦调制高斯波，也是最常用的复值小波该小波，在时频两域均具有良好的分辨率，将此小波加以改造特别适用于地震资料的分析。
在Matlab中输入命令waveinfo(‘cmor’)可得到如下信息：
Definition: a complex Morlet wavelet is
cmor(x) =(pi*Fb)^{-0.5}*exp(2*i*pi*Fc*x)*exp(-(x^2)/Fb)
depending on two parameters:
Fb is a bandwidth parameter
Fc is a wavelet center frequency
Family Complex Morlet
Short name cmor
Wavelet name cmor”Fb”-“Fc”
Orthogonal no
Biorthogonal no
Compact support no
DWT no
complex CWT possible
Support width infinite
参考文献
【1】葛哲学，沙威.小波分析理分与MATLAB R2007实现[M].北京：电子工业出版社，2007.
【2】魏明果.实用小波分析[M].北京：北京理工大学出版社，2005.
【3】董长虹. Matlab小波分析工具箱原理与应用[M].北京：国防工业出版社，2004.
【4】张颖超，茅丹，胡凯.压缩传感理论在心电图信号恢复问题上的研究[J]. 计算机研究发展，2014，51(5)：1018-1027.
【5】wcrzq，microwest.紧支集是什么意思，求详细解释，谢谢.百度知道
【6】zhaodong584584. 消失矩阶数，百度百科
【7】well3216. 对消失矩的理解(转载自matwav)，CSDN博客
【9】muchi1234. 正则性，百度百科
【10】洋务大臣. 样条函数，百度百科
转自：https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/42586749
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