因子分析模型
因子分析可以看作是主成分分析的一个扩充，因子分析在数学建模中使用的没有主成分分析那么多。关于因子分析和主成分分析的区别可以看一下司守奎老师的“因子分析”那个章节。一开始就有介绍区别。
因子分析
1）主成分分析法：
例5 研究纽约股票市场上五种股票的周回升率。这里，周回升率＝（本星期五市场收盘价－上星期五市场收盘价）/上星期五市场收盘价。从1975年1月到1976年12月，对这五种股票作了100组独立观测。因为随着一般经济状况的变化，股票有集聚的趋势，因此，不同股票周末回升率是彼此相关的。
对m=1和m=2，因子分析主成分解见下表。
|
变量 |
一个因子 |
两个因子 |
|||
|
因子载荷估计 |
特殊方差 |
因子载荷估计 |
特殊方差 |
||
|
1 |
0.7836 |
0.3860 |
0.7836 |
-0.2162 |
0.3393 |
|
2 |
0.7726 |
0.4031 |
0.7726 |
-0.4581 |
0.1932 |
|
3 |
0.7947 |
0.3685 |
0.7947 |
-0.2343 |
0.3136 |
|
4 |
0.7123 |
0.4926 |
0.7123 |
0.4729 |
0.2690 |
|
5 |
0.7119 |
0.4931 |
0.7119 |
0.5235 |
0.2191 |
|
累积贡献 |
0.571342 |
0.571342 |
0.733175 |
||
对m=2，残差矩阵
为
第一个因子F1代表了一般经济条件，称为市场因子，所有股票在这个因子上的载
荷都比较大，且大致相等，第二个因子是化学股和石油股的一个对照，两者分别有比较大的负、正载荷。可见F2使不同的工业部门的股票产生差异，通常称之为工业因子。归纳起来，我们有如下结论：股票回升率由一般经济条件、工业部门活动和各公司本身特殊活动三部分决定。
clc,clear
r=[1.000 0.577 0.509 0.387 0.462
0.577 1.000 0.599 0.389 0.322
0.509 0.599 1.000 0.436 0.426
0.387 0.389 0.436 1.000 0.523
0.462 0.322 0.426 0.523 1.000];
%下面利用相关系数矩阵求主成分解，val的列为r的特征向量，即主成分的系数
[vec,val,con]=pcacov(r);%val为r的特征值，con为各个主成分的贡献率
f1=repmat(sign(sum(vec)),size(vec,1),1); %构造与vec同维数的元素为±1的矩阵
vec=vec.*f1; %修改特征向量的正负号，每个特征向量乘以所有分量和的符号函数值
f2=repmat(sqrt(val)',size(vec,1),1);
a=vec.*f2 %构造全部因子的载荷矩阵
a1=a(:,1) %提出一个因子的载荷矩阵
tcha1=diag(r-a1*a1') %计算一个因子的特殊方差
a2=a(:,[1,2]) %提出两个因子的载荷矩阵
tcha2=diag(r-a2*a2') %计算两个因子的特殊方差
ccha2=r-a2*a2'-diag(tcha2) %求两个因子时的残差矩阵
gong=cumsum(con) %求累积贡献率
该MATLAB源代码运行结果中的a为载荷矩阵。主因子方法是对主成分方法的修正。
2）主因子分析法：
例 我国上市公司赢利能力与资本结构的实证分析
已知上市公司的数据见表1。
表1 上市公司数据
|
公司 |
销售净利率X1 |
资产净利率X2 |
净资产收益率X3 |
销售毛利率X4 |
资产负利率X5 |
|
歌华有线 |
43.31 |
7.39 |
8.73 |
54.89 |
15.35 |
|
五粮液 |
17.11 |
12.13 |
17.29 |
44.25 |
29.69 |
|
用友软件 |
21.11 |
6.03 |
7 |
89.37 |
13.82 |
|
太太药业 |
29.55 |
8.62 |
10.13 |
73 |
14.88 |
|
浙江阳光 |
11 |
8.41 |
11.83 |
25.22 |
25.49 |
|
烟台万华 |
17.63 |
13.86 |
15.41 |
36.44 |
10.03 |
|
方正科技 |
2.73 |
4.22 |
17.16 |
9.96 |
74.12 |
|
红河光明 |
29.11 |
5.44 |
6.09 |
56.26 |
9.85 |
|
贵州茅台 |
20.29 |
9.48 |
12.97 |
82.23 |
26.73 |
|
中铁二局 |
3.99 |
4.64 |
9.35 |
13.04 |
50.19 |
|
红星发展 |
22.65 |
11.13 |
14.3 |
50.51 |
21.59 |
|
伊利股份 |
4.43 |
7.3 |
14.36 |
29.04 |
44.74 |
|
青岛海尔 |
5.4 |
8.9 |
12.53 |
65.5 |
23.27 |
|
湖北宜化 |
7.06 |
2.79 |
5.24 |
19.79 |
40.68 |
|
雅戈尔 |
19.82 |
10.53 |
18.55 |
42.04 |
37.19 |
|
福建南纸 |
7.26 |
2.99 |
6.99 |
22.72 |
56.58 |
MATLAB源代码：
clc,clear
load data.txt; %把原始数据保存在纯文本文件data.txt中
n=size(data,1);
x=data(:,1:4); y=data(:,5); %分别提出自变量x和因变量y的值
——————————————————————————————————
如果不需要检验，则不需要把y列入原始数据中，把矩阵x的大小改变一下，以及下文中的m，m为原始数据中变量的个数。
——————————————————————————————————
m=4;%m为变量的个数
x=zscore(x); %数据标准化
r=cov(x); %求标准化数据的协方差阵，即求相关系数矩阵
[vec,val,con]=pcacov(r); %进行主成分分析的相关计算
c=cumsum(con);
i=1;
while ((c(i)<90)&(con(i+1)>10))
i=i+1;
end
num=i;
f1=repmat(sign(sum(vec)),size(vec,1),1);
vec=vec.*f1; %特征向量正负号转换
f2=repmat(sqrt(val)',size(vec,1),1);
a=vec.*f2; %求初等载荷矩阵
am=a(:,1:num); %提出num个主因子的载荷矩阵
[b,t]=rotatefactors(am,'method', 'varimax'); %旋转变换,b为旋转后的载荷阵
bt=[b,a(:,num+1:end)]; %旋转后全部因子的载荷矩阵
contr=sum(bt.^2); %计算因子贡献
rate=contr(1:num)/sum(contr); %计算因子贡献率
fprintf('综合因子得分公式：F=');
for i=1:num
fprintf('+%f*F%d',rate(i),i);
end
fprintf('\n');
coef=inv(r)*b; %计算得分函数的系数
coef=coef';
for i=1:num
fprintf('各个因子得分函数为F%d=',i);
for j=1:m
fprintf('+(%f)*x_%d',coef(i,j),j);
end
fprintf('\n');
end
%如果仅仅因子分析，程序到此为止
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
score=x*coef';%计算各个因子的得分
weight=rate/sum(rate); %计算得分的权重
Tscore=score*weight'; %对各因子的得分进行加权求和，即求各企业综合得分
[STscore,ind]=sort(Tscore,'descend'); %对企业进行排序
display=[score(ind,:)';STscore';ind']; %显示排序结果
fprintf('排序结果如下：');
for i=1:num
fprintf('第%d行为F%d得分,',i,i);
end
fprintf('第%d行为综合因子得分，第%d为原序列\n',num+1,num+2);
disp(display);
[ccoef,p]=corrcoef([Tscore,y]); %计算F与资产负债的相关系数
[d,dt,e,et,stats]=regress(Tscore,[ones(n,1),y]);%计算F与资产负债的方程
fprintf('因子分析法的回归方程为：F=%f+(%f*y)',d(1),d(2));
if (stats(3)<0.05)%判断是否通过显著性检验的结果
fprintf('\n在显著性水平0.05的情况下，通过了假设检验。\n');
else
fprintf('\n在显著性水平0.05的情况下，通不过假设检验。\n');
end该MATLAB源代码的displsy为最终排序结果。
本题用SPSS求解（因子分析中的主成分分析法）：
1.把原始数据输入SPSS中，如图：
2.依次点击“分析”→“降维”→“因子”，如图：
3.在“因子分析”对话框中，把X1、X2、X3、X4移入“变量”中，如图：
4.单击“描述”，出现“因子分析：描述”对话框；在“统计”栏中，勾选“初始解”；在“相关性矩阵”栏中，勾选“显著性水平”，如图，单击“继续”。
5.单击“提取”，出现“因子分析：提取”对话框，在“方法”中，选择“主成分”；在“分析”中，选择“相关性矩阵”；在“输出”中，勾选“未旋转因子解”；在“提取”中，选择“基于特征值”，并设定特征值大于“1”，如图，单击“继续”。
6.单击“选择”，在“因子分析：旋转”对话框中的选项默认即可，如图，单击“继续”。
7.单击“得分”，在“因子分析：因子得分”对话框中，勾选“保存为变量”；在“方法”中，选择“回归”；并勾选“显示因子得分系数矩阵”，如图，单击“继续”。
8.单击“选项”，在“因子分析：选项”对话框中的选项默认即可，如图，单击“继续”。
9.在“因子分析”对话框中，单击“确定”，如图。
|
相关性矩阵 |
|||||
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
||
|
显著性 （单尾） |
X1 |
.114 |
.263 |
.006 |
|
|
X2 |
.114 |
.002 |
.096 |
||
|
X3 |
.263 |
.002 |
.304 |
||
|
X4 |
.006 |
.096 |
.304 |
||
|
总方差解释 |
||||||
|
成分 |
初始特征值 |
提取载荷平方和 |
||||
|
总计 |
方差百分比 |
累积 % |
总计 |
方差百分比 |
累积 % |
|
|
1 |
1.897 |
47.429 |
47.429 |
1.897 |
47.429 |
47.429 |
|
2 |
1.550 |
38.740 |
86.169 |
1.550 |
38.740 |
86.169 |
|
3 |
.393 |
9.826 |
95.995 |
|||
|
4 |
.160 |
4.005 |
100.000 |
|||
|
提取方法：主成分分析法。 |
||||||
综合因子分析得分公式为：
|
成分矩阵a |
||
|
成分 |
||
|
1 |
2 |
|
|
X1 |
.731 |
-.513 |
|
X2 |
.818 |
.503 |
|
X3 |
.359 |
.897 |
|
X4 |
.752 |
-.477 |
|
提取方法：主成分分析法。 |
||
|
a. 提取了 2 个成分。 |
||
|
成分得分系数矩阵 |
||
|
成分 |
||
|
1 |
2 |
|
|
X1 |
.385 |
-.331 |
|
X2 |
.431 |
.325 |
|
X3 |
.189 |
.579 |
|
X4 |
.396 |
-.308 |
|
提取方法：主成分分析法。 组件得分。 |
||
各个因子得分函数：
|
成分得分协方差矩阵 |
||
|
成分 |
1 |
2 |
|
1 |
1.000 |
.000 |
|
2 |
.000 |
1.000 |
|
提取方法：主成分分析法。 组件得分。 |
||
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