「华罗庚金杯少年数学邀请赛」第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（初中二年级组）部分试题解答

华罗庚金杯少年数学邀请赛

试题参见链接：

HTTP://www.huabeisai.C++n/upload/HTML/2017/03/11/guoxiayue0d53d2b8d4de41e582486ae13d45fb02.pdf

1.化简：

9+62√−−−−−−−√+33√+6√=9+62√−−−−−−−√+6√−3√=18+29+62√−−−−−−−√∗(6√−3√)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=18+29+62√−−−−−−−√∗9−62√−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=26√

5.已知 $formdata=p,q,\frac{3p-1}{q},\frac{q-1}{p}$ 都是正整数，那么 $formdata=p^2+q^2$ 的最大值等于？

解答：

由p | q-1，可知（p, q）=1；

由p | q-1, q | 3p-1 => p | 3p+q-1， q | 3p-1+q，即：p，q均为3p+q-1的约数，且p，q互素；

从而有：3p+q-1 = kpq（k为正整数）；

即：k=3/q + 1/p - 1/pq <=3，k=1，2，3

(1)k=1的情形：

3p+q-1=pq

-> 3p-1=q(p-1)

->p-1 | 3p-1=3(p-1)+2

->p-1 | 2

-> p=3,2对应的有q=4,5

(2)k=2的情形：

3p+q-1=2pq

->q-1=p(2q-3)>=2q-3

->q<=2

->q=1,2对应的有p=0,1

(3)k=3的情形

3p+q-1=3pq

->q-1=p(3q-3)>=3q-3

->q<=1

->q=1与题设不符

故有三解(p,q)=(3，4），（2，5），（1，2）

9.已知 $formdata=a^2+b^2+c^2=1$ ， $formdata=a(\frac1b+\frac1c)+b(\frac1c+\frac1a)+c(\frac1a+\frac1b)=-3$ ，求 $formdata=a+b+c$ 的值。

解答：

$formdata=a(\frac1b+\frac1c)+b(\frac1c+\frac1a)+c(\frac1a+\frac1b)=-3 \\\Rightarrow a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a)=-3abc \\\Rightarrow c(a^2+b^2)+b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)=-3abc \\\Rightarrow c(1-c^2)+b(1-b^2)+a(1-a^2)=-3abc \\\Rightarrow a+b+c=a^3+b^3+c^3-3abc$ ———-（1）

另一方面：

$formdata=(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^2c+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc \\=a^3+b^3+c^3+3b(a^2+c^2)+3a(b^2+c^2)+3c(a^2+b^2)+6abc \\=a^3+b^3+c^3+3b(1-b^2)+3a(1-a^2)+3c(1-c^2)+6abc \\=3(a+b+c)-2(a^3+b^3+c^3)+6abc$