增长的极限
如何合理的衡量自然增长呢？或许从文章中你可以得到一些答案。
虽然依文主脾气，是喜欢按照纯逻辑顺序叙述这件事，但是因为是近期独立思考产生的全新理论，没有任何参考对象，所以本文目的是为了与更多人讨论这种理论的可行性，因此姑且提出几个问题，让观众产生点疑惑，以便有少数观众愿意读完与我探讨：
只要我投入越多的资金，我就可以带来越多的用户？
我每多投入一笔差不多金额的资金，我都可以带来一批差不多数量的用户？
投入资金和用户增长之间是不是有一个最合理值？
大家广传的“指数型增长”真的是做到了指数型吗？指数型增长又代表产品处在什么状态？非指数型增长产品的危机是什么？
到这里，不感兴趣的人都应该已经离开，我就与选择留下的人来讨论下增长的问题。
概念的个人主观解释：
本篇，文主将增长拆解为三个部分：
用户自发自然增长：没有投入任何资源的情况下，依靠用户自发传播产生的增长。
投入资源促使用户自然增长：投入一些资源，但是资源并不用于直接让用户增长，而是投入资源接触到用户，对用户介绍产品某一部分后引起用户兴趣，用户自发进入；能够用利益吸引用户进入，并且不会直接离开产品的增长方式也归在此类。
暴力推广带来直接增长：直接给用户真实收入或利益，收入与利益的条件是下载/注册产品，不关心用户是否会在很短时间内立即离开产品。
为什么我突然想到了这个问题？
在谈自然增长这个话提前，我想先和大家聊聊我观察到的两个现象，它们促使我开始思考这个问题：
1.增长指标
在很多公司中，我发现这样一个现象：尤其是To C的产品，当大家制定一个阶段的增长目标时，似乎有一条公式是永恒成立的：
指标=经验+拍脑袋
很多人是凭着自己多年了解行业的经验临时一拍脑袋定一个指标，如你所见，它们基本都是1000，10000，100000…的整数倍，这使我思考，对一个自然增长的产品，难道没有一个简单易用的方式来预测下一阶段我们的用户会达到多少吗？
2.“资源量=增长速度”这个等式对吗？
当然，所有人都会觉得上述等式是愚蠢的，所以，增长的极限在哪里？
为了搞清楚问题，我假设了一个最简单的情景
（概念：裂变指的是当用户是自然增长状态下时，一位用户能带来数位新用户，这时我认为最开始的那位用户产生了裂变；这种增长称之为裂变式增长，你可以用细胞分裂来比喻它）
如果我们完整地从个体层面阐述用户增长这件事，它会是这样：
在XXX时间内，有X%的用户能够产生裂变，这些用户每人邀请X位新用户：
这些用户中有X位是自然传播带来的；有X位是投入XX资源带来的。
我们可以从中提取四个重要的独立参变量：
几%的用户？
一段时间？
裂变多少个？
投入多少资源？
但是如果我同时考虑这么多变量，我需要多元函数解决，而且我相信你不会相信那个电脑拟合的答案。所以，我假设一种最简单的情形：
若现在有一个发展中的邀请制社区产品，用户必须有邀请码才能注册，每个人每个月也只能发出一个邀请码；按照现在的用户增速，每一个月用户数量就会翻一倍（即进入的所有用户每个人邀请了一个人）；
那么，一个月后这个社区的用户体量极限会为现在的e（自然常数，≈2.71828…）倍；（这种情况是假设，每一个进入的新用户一进入在无限小的一个时间后立刻开始邀请下一个用户，你可以假设是1ns）
以上结论是由一个很简单的式子得到的：
我们带入情景可以得到：
以下部分为推导：（知道这个结论如何而来的数学基础良好的你可以直接跳过）：
假定有一种单细胞生物，它每过24小时分裂一次。
那么很显然，这种生物的数量，每天都会翻一倍。今天是1个，明天就是2个，后天就是4个。我们可以写出一个增长数量的公式：
上式中的x就表示天数。这种生物在x天的总数，就是2的x次方。这个式子可以被改成下面这样：
其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内的增长率。
我们继续假定：每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。
因此，一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。
当这一天结束的时候，我们一共得到了2.25个细胞。其中，1个是原有的，1个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。
如果我们继续修改假设，这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力，也就是将1天分成3个阶段。
那么，最后我们就可以得到大约2.37个细胞。
很自然地，如果我们进一步设想，这种分裂是连续不断进行的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么一天最多可以得到多少个细胞呢？
当n趋向无限时，这个式子的极值等于2.718281828…。
因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。
这个值是自然增长的极限，因此以e为底的对数，就叫做自然对数。
so，我已经得到一个最简单情况的增长，我进一步对它作推广：（以下均为极限情况下，即最快/最多可以是多少，实际是很难达到的）
如果我的基数是100个用户，那么我一个月后会有100e个用户
如果用户不是只能邀请一个人，一个人可以邀请2个人（甚至没有限制，由数据观测近期平均一个人邀请5个）；或者不是全部的用户都邀请了新用户，由近期数据观测，平均15%的用户邀请了新用户。
定义：rate= “几%的用户” * “每个用户邀请几个人”
极限为：
如果是求两个月后的增长呢：
在时间t的情况下，通用公式就是：
同理，我们可以推算得到增长到一定规模需要的时间：
比如5%的用户发出了邀请，一个用户邀请一个人，100个用户变成200的最快时间为
计算结果是13.86月：（所以别为了稳定增长，怕破坏用户增长，就不去加速自然增长，当然暴力增长一直都是不提倡的）
以上，我们已经讨论了所有的极限情况，并得到极限情况下的增长函数：
用户一段时间后的规模预测为：（m为现在的用户规模，rate=“时间t”*“参与邀请的用户占比%”*“每个用户邀请的数量”）
该极限式不仅适用于用户增长的极限，同样适用于预测经济规模、销售额增长、产品销量等在相对稳定环境下增长的指标。实际上该值不像我们数学上常用的那样增速飞快（即指数级增长），往往实际场景中，增长是该极限的前端一部分：
它有什么意义呢？
我们可以看到，这个极限式实际上在上升到巨大规模前，它的曲线并没有那么陡峭，也就是说，即使投入再大的资源，我能达到的极限也就是这个曲线，因此所有制定超过这个极限曲线上数据点的增长指标想要依靠自然增长（裂变式增长）实现都是不可能的。
另：在实际商业案例中，最初的用户往往不会是我们从1开始，让他自然增长，我们会准确投放到一群我们认为的目标客户聚集的地方，即这时其实不符合这个曲线，因此我们的经典产品曲线是这样的：
就好比一条小米新功能的推送，我们朋友圈转发和到小米论坛发送一样，到小米论坛发送是不符合自然增长的，但是当功能开始走出小米论坛，它就开始传播，因此我们实际的曲线往往是从这里开始的：
极限有了，怎么才能预测我的产品下个阶段的指标数据呢？
我们沿着极限式的最终结论式继续推导下去：
当计量单位不是月的时候，该式同样可以应用，e倍速增长是以一个计量单位为一个单位时间的，比如一年，一天，一秒均可以；只需要定义，一个阶段是多少，比如我们可以定义“1秒=1”，也可以定义“一年=1”，也可以定义“一年=365”，x随着这个阶段时间定义而变化，“30/x”、“365/x”还是“1/x”，都可以自行定义。
我们做去极限的处理，即可以得到，下一阶段的用户数量为这个阶段的：（x代表用户进入x天后才开始裂变）
如果总体所有用户进入后，用户不是以100%增长的（不是一个用户拉取一个人），x天后增速为a%（即前文的rate），想知道30天后用户体量变为这个阶段的：
如果不是30天，将上一条的时间推广结论也纳入进来，那么下一届阶段，用户数量为：
SO，我们有了一个极限值——关于e的指数函数（决定增长上限），我们有了一个正常范围内计算公式（预测下一阶段会达到的数量），我们可以做到什么：
1.较准确的预测某一指标（商业体量，用户数等）的增长数，打破原有（“指标=经验之谈+拍脑袋”的不合理预测方式）。
2.增长极限为指数型增长，因此即使投入再多资源也只是能让“1→e”这个过程，甚至于很多产品本身可以达到“指数型”增长。因此并不是投入更多就一定可以让增长更快，它存在一个极限。
3.指数型增长底数为e是极限，但是一般公司都会投入资源给推广和市场部门，因此流量必然不是所有的都是自然增长，还存在因为人为推广而促进用户了解愿意投入增长和通过推广强行让用户指标短时间增长的情况；我们可以通过一段时间内增长曲线观察到的增长来判断，目前的投入是否是合理的，用户是否真的是对产品认可，还是仅因为市场投入才进入，即如果增长不能符合常规增长数量预测值（每一个阶段都偏低的话），我们可以说，这个产品是没有用户认可度的，虽然现在仍在增长，如果继续下去，产品必将衰落崩溃（在“创新扩散曲线”等理论决定的16%人群之前，在其他条件限制极限的条件之前，阶段性成立，这个实例中会解释）。
我们来用这两个模型分析下具体案例。
增长案例分析
完美的裂变式增长案例——slack
Slack是一款云端团队协作软件，它甚至没有市场团队，只依靠口碑营销和品牌影响获取用户（近期slack才组建市场团队，为什么需要这么做？理由分析之后会解释），也就是说是纯粹的自然增长。
上图是slack的用户数变化的曲线，我们尝试从曲线上取下一段数据点，然后自己分析下：
因为图线是基本符合e指数型增长的，也即slack的用户是在以近乎极限的增长速度在增长，因此我们只好用极限状态式来分析它的增长：
对比我们可以得到以下信息：
1.slack的增长率为46.74%，即“裂变用户百分比”*“每个人裂变用户数”=46.74%，因此我们可以很容易的得到接下来一段时间slack的用户数会是多少，比如我们可以计算，2015年2月（即自变量为10）的时候，用户数会为532k，从图上看，slack2015年2月用户数约为520k，误差率在2%，对于预测来说，这个误差完全可以接收。
2.slack为什么是近乎指数增长的？
因为在上图分析中，我们选取的n参考维度（横坐标，也是之前所说的定义的“一个阶段”）是月，每个slack用户进入后准备邀请下一个用户进入，这个时间段x相对于一个月来说，是很小的一段时间，因此最终slack在这个维度下是以近乎指数型在增长。
3.slack在以近似极限增长速度增长，这件事代表什么呢？
（2）slack产品足够好，用户认可并愿意自发推广（反之，若不为指数型增长，实际上你的产品可能在很多用户眼中是不认可的，可能如果策略不变，你的产品危机就要来了，只是它还没开始发生，就像08年美国的房地产证券）。
这一点上需要说明下，很多媒体口传的指数型增长，往往是投入很多资金人为驱动的结果（甚至是暴力推广的结果，这种情况你超过指数型我都信），因为增长的极限是指数函数嘛，这类实际上如果在每个用户上投入的资金减少，它就不再以指数增长，并不是像slack这类无任何投入纯依靠产品力量驱动的增长，它可以一直保持指数型。
当然实际产品中，在每个用户上稳定投入，诱导用户对产品产生信赖，然后进行自然增长（即我最开始定义的自然增长的第二类）也是很好的加速增长的方法，并且可持续。
（3）如果我们想要提高用户增长速度，我们投入资金实际上是在提高用户裂变率和裂变量，即推动更多老用户推荐，推动老用户推动更多的人；因为已经达到极限增长曲线，诸如拓展新用户等举措实际上并不能让增长速度更快，只是在提高增长基数而已（可能反而因为营销反感，营销对象不符合目标用户画像等原因，增速会变慢）。
4.如果我已经是指数型增长了，我想要投入资源加速这个自然增长（依然是自然增长，不是暴力推广），最终实现如下图的变化，我怎么评估我的投入产出比呢？是否存在一个最合理的投入呢？这个问题我们放到第二阶段讨论，因为这部分文主也还在摸索，希望你能与我一起探讨。
5.指数级增长会持续不断下去吗？
当然不是，从slack数据可看到，该表仅给出slack到50w用户规模的曲线，它没有出现其他趋势仅仅是因为当前增长还未达到出现变化的时间点，so，大众产品的曲线拐点在哪？
这部分我想阐述下，对一般的增长明星产品来说，这些明星产品未来的趋势会是什么样子的。（因为资料所限，仅能以网易云音乐为例，如果你有合适的数据希望与我探讨，那再好不过了）
一般从我们看到的新闻稿里，我们总结的网易云音乐的增长是这样的：
看起来就是一个像指数型增长的产品对么，但是实际上产品不会是如上趋势的增长，根据网易自己发布的《网易云音乐2016上半年用户行为大数据》，网易云音乐的用户数量趋势是这样的：
虽然没有求证过这个趋势的真实性，我们姑且认为这个趋势是正确的并在这个基础上分析，为什么网易云不是一路指数型增长到2亿，而是在5500万用户产生了拐点，为什么又在1亿后恢复了增长趋势。（以下我仅分析对任何行业都通用的分析方式，对这个拐点产生作用的不同行业的不同特殊因素，我相信们读者们更加了解）
传播学教授埃弗雷德·罗杰斯在对超过508项扩散研究进行综合研究之后，在他的著作《Duffision of Innovation》中提出了著名的“创新扩散曲线”理论。罗杰斯用这个理论描述了个人和组织采用创新的过程。你可能在很多著名的演讲中都曾在各种名人口中听过这个理论，但是我姑且还是把它再展示给你：
蓝色的线表示：在整个人群中，有2.5%的人被称为创新者，他们是苹果店一推出新机就去专卖店门口排队一天一夜也要购买的人（当然现在他们不用这么做了）；13.5%的人被称为早期采纳者，他们可能是看到朋友圈第一类人晒的iPhone新机，听说不错，然后也去购买；接下来68%的人是因为前两类的慢慢影响和市场变化，从众进入的人；最后的16%是落后者，他们是在触屏机广泛普及的时代依旧坚持用按键机的人。（如果你从事的是与销售强相关的行业，那么也可以关注下这里的黄线，它是市场份额的曲线，本文就不做过多叙述）
我们用这个理论来看看音乐这个行业，根据国家统计局2010年人口普查的数据，16-44岁的人口数量在5.48亿（当然你可以觉得现在这个数据已经变化了，这仅仅是一个举例的估算，实际行业里，我们都会清楚自己的目标用户规模到底有多大）。
我假定5.48亿这个数量是最终要达到的用户规模；
根据城乡人口普查，城镇人口占57.35%，我认为对一个新的音乐播放器产品，城镇人口是首先接收的（假设这就是所谓的行业影响因素），我得到，城镇人口约3.14亿
用城镇人口乘2.5%，得到785万，这就是这个播放器要走向大众产品，需要达到的基础用户量；乘16%（2.5%+13.5%），得到5000万，这就是创新者和早期采纳者的总数，即对应网易云音乐图上产生拐点的地方，因为这时产品已经要进入一个放缓增长的过渡期，从吸引“喜欢新产品”的人过渡到吸引“从众者”。
（4）那1亿到2亿的增长是怎么出现的呢，我假设那一段也是如图所示的指数型；其实这对应主要是自然增长的第二部分，每个用户平均投入一定金额，促进用户自然增长，可以看到这个时期网易云有很多举动，而结果就是在稳定的促增长策略下，用户度过了过渡期之后，从众者也因为引导而产生了自然增长。
但是，如果我们更切合实际一些，产品生命周期里，每一个小阶段，我们都必然产生一些大动作，比如影响目标用户群数量的功能上线，知名媒体曝光，产品成功营销等动作，我们有没有办法在这种情况下预测用户数量呢？
阶段性的指数增长——以滴滴为例
如果我们只是一般的产品，不能纯粹依靠第一类自然增长，而且变化速度极快，会有很多大动作影响到用户增长甚至目标用户群数量，这时对整个生命周期用一个函数预测指标往往是不准确的，以下以滴滴打车举例：（这其实是滴滴下载量的数据，不是用户量，所以并不准确，但是拿来和你讲清楚问题却足够了）
同理，我们对滴滴拿出一段数据做分析，因为观察增长趋势大致符合指数增长极限，所以我依旧用极限式尝试贴近滴滴打车的数据：
虚线是尝试贴合的函数，可以发现这个误差非常大，甚至趋势都不同，我重新观察了原数据图，发现我取的数据段，滴滴都发生了大的版本迭代，没有发生版本迭代的变化节点，查询了下，结果是滴滴2014年12月7日宣布了7亿美元的新融资。所以我先做了一个尝试，我把变化节点之间的数据分别贴合了下：
这时我们发现一件事，在一件大事发生之后，另一件大事发生之前的一段时间里，用户仍然是呈稳定的指数极限增长的，只是每到一个大事发生的节点，这个增长趋势会被另一个新的指数极限增长趋势代替。
也就是说，在实际情况中，如果环境发生了改变，在下一次改变之前，我们认为增长是稳定的（对健康的受到用户认可的产品来说），在这个范围内仍然可以用之前的一个极限式和一个正常增长式来预测。
这个理论什么情况下会失效？
一切即将崩溃（用户不认可，增长不是裂变式，而是依靠市场和推广投入推动），或者正在崩溃（每阶段用户都是净流失）的产品该理论都会失效。当然，从增长趋势上我们可以做出判断，是否产品虽然正在增长，但是继续下去会出现崩溃，在之前的实例探讨中已经说明，因此不再赘述。
投入产出比的最合理值
我们知道，如果我们稳定投入资源，可以通过促使自然增长达到增长极限；如果我们继续投入资源，我们可以控制其他三个参变量，即缩短一个阶段的时间、提高发生裂变的用户的比率或者提高每个用户能够裂变的用户数。（如下式，反映在n和a%会增大）
So，因为指数函数和指数函数之间，通过改变指数引起的变化不是线性的，因此数学意义上是存在最合理的投入产出比的，接下来我将与你讨论下这个没有完成的部分。
数学意义上的极限在哪
再来看一下最初的增长的分类：
这里我将第一类自发自然增长的用户总数假定为A，第一类和第二类促进自然增长的用户总和假定为B，假设我们没有暴力推广带来的增长用户（文主也强烈不推荐引入此类用户）。这时，我认为”B-A”即是由投入带来的用户增长部分，我将所有的资源投入换算为资金，为C。
投入产出比=C/（B-A）
所以我们带入B和A，可以得到如下结果：
显然这个值太大了，世界上没有任何一个经济体能够达到C/(e-1)这个投入规模，因此这个数学上的极限其实是不可用的。
从实际出发呢？
虽然以上推论是错误的，但是思路却没错。同时我发现，我可以用我现有的“用户规模（x）”*“平均每个用户投入资金（c）”来代替投入，但是用户增长也与用户规模有关，因此我可以得到以下式子：
假设这里的场景为朋友圈转发带来自然增长，这里的f（x）=a*b*c*x（a为平均每个用户能够转化进入的用户数，b是转发率，c为留存率），然后可以求得最大值。然而这个式子仅限于求解转发渠道的最优投入产出，而且是否可用也存疑，因此投入产出比部分期待与你的深一步讨论。
总结
因为本文目的更多希望与人探讨理论，因此将文主整个推导过程叙述了下，为了方便应用，这里提炼出本文真正应用预测指标的两个式子（当然对趋势曲线的理解需要你到文章去找了）：
极限状态下的增长式：（等式右侧）
正常情况下，预测下一个阶段用户（指标规模/经济）数的式子：（注意，该式仅用于计算每一个点的数值，而不代表一个整个增长的趋势函数）
当然，本文所述的任何趋势仅是逻辑上成立，实际情况无论在任何阶段，只要投入资金推动暴力增长出现或者让产品走向流失（崩溃）的趋势，趋势都是可以被任意更改的。
然而我只是想告诉你，自然增长的趋势是什么，顺应自然增长阶段投入资源才能拿到最大的回报，投入产出才会最高，在不同阶段都制定一样的增长指标，结果就是在达到16%后的增长变得异常艰难，必须投入越来越多的资金才能保持增长，但是留存却并不很好看。
因为其实将一群“后期从众者”强行拉到“创新者”的地位上，从人性来看，需要这个人做出反性格的事，这必然是很难得，即使短期维持住指数增长，它其实是得不偿失的。
期待你与我讨论
由于资料所限，文主的逻辑上的正确结论未必是实际正确的，如果你有合适的数据想与文主探讨，或者对文中的理论有疑义和自己的解释，那就太好了，文主万分欢迎你与我一起探讨完善这个理论，文主写这篇文章的目的也就达到了。
题图来自unsplash，基于CC0协议
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