一个被忽视的小点——函数的单调性

　

函数单调性

文章目录

• 关于函数单调性的定理
• 定理6.3
• 定理6.4
• 推论
• 注意！！小点在这里
• 例题
• 解答

关于函数单调性的定理

定理6.3

• $f$f在$I$I上可导
• $f$f在$I$I上递增$\iff f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)\ge 0$⇔f′(x)≥0
• $f$f在$I$I上递减$\iff f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)\le 0$⇔f′(x)≤0

定理6.4

• $f$f在$I$I上可导
• $f$f在$I$I上严格递增$\iff$⇔
  • ①对$\mathrm{\forall }x\in (a,b)$∀x∈(a,b)有$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)\ge 0$f′(x)≥0
  • ②在$(a,b)$(a,b)的任何子区间上$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)\mathrm{\ne }0$f′(x)̸​=0
• $f$f在$I$I上严格递减$\iff$⇔
  • ①对$\mathrm{\forall }x\in (a,b)$∀x∈(a,b)有$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)\le 0$f′(x)≤0
  • ②同上

推论

• $f$f在$I$I上可微
• $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)\>0\Rightarrow$f′(x)>0⇒严格递增
• $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)\&lt;0\Rightarrow$f′(x)<0⇒严格递减

注意！！小点在这里

若$f$f在$(a,b)$(a,b)上（严格）递增（减），且在$a$a点右连续$\Rightarrow$⇒ $f\mathrm{在}[a,b)\mathrm{上}\mathrm{也}\mathrm{（}\mathrm{严}\mathrm{格}\mathrm{）}\mathrm{递}\mathrm{增}\mathrm{（}\mathrm{减}\mathrm{）}$f在[a,b)上也（严格）递增（减）

例题

• $f$f在$[0,+\mathrm{\infty })$[0,+∞)上连续
• $f\left(x\right)\&gt;0$f(x)>0
• 证明：
  • $\phi \left(x\right)=\frac{{\int }_0^{x}tf\left(t\right)dt}{{\int }_0^{x}f\left(t\right)dt}$φ(x)=∫0x​f(t)dt∫0x​tf(t)dt​是$(0,+\mathrm{\infty })$(0,+∞)上的严格增函数
  • 且如果要让$\phi$φ在$[0,+\mathrm{\infty })$[0,+∞)上严格增，应给$\phi \left(0\right)$φ(0)补充一个怎样的值？

解答

• 证明很简单，对$\phi$φ求导，发现当$x\in (0,+\mathrm{\infty })$x∈(0,+∞)时，${\phi }^{\mathrm{\prime }}\&gt;0$φ′>0
• 重点是第二个问题，怎么让$\phi$φ在$[0,+\mathrm{\infty })$[0,+∞)上严格增。
• 根据上面的注意事项，$\phi$φ在$(0,+\mathrm{\infty })$(0,+∞)上已经严格增了，只要让$\phi \left(x\right)$φ(x)在$x=0$x=0处右连续就能解决，所以，让$x\to 0^{+},$x→0+,求
• $\underset{}{\lim }\phi \left(x\right)=\underset{}{\lim }\frac{xf\left(x\right)}{f\left(x\right)}=0$x→0+lim​φ(x)=x→0+lim​f(x)xf(x)​=0 $\Rightarrow \mathrm{令}\phi \left(0\right)=0\mathrm{即}\mathrm{可}$⇒令φ(0)=0即可

文章最后发布于: 2019-08-07 15:45:59

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