斜率
适用范围
对于某些2D\nD的dp，状态为dp[i][j]表示在i的时候选了j个东西的最优解，要求dp[n][m]。
分析
如果设F(m)=dp[n][m]，如果F(m)是一个单峰函数（特别的，单调函数），那么我们设Cf(m)=F(m) - F(m-1) ，则Cf(m)是一个单调不降（不升）的函数，这个时候，我们从差分是离散的积分的观点来看，那么G(x)=F(x) - kx，当k=Cf(m)的时候，G(x)的最值在m处取到。
由于Cf单调，所以k也有单调性。基于此，我们可以得到一种做法：假若二分这个k，然后计算G(x)在什么地方取到最大值，然后就可以知道k应当向什么方向移动。
下面的问题是如何计算G(x)的最大值在什么时候取到。考虑横坐标的意义，是选取多少个数，那么 -kx 表示的是每选择一个，就要多付出k的代价。这样子就有了一个新的dp，dp’[n]表示在如上条件中取到的最优值以及此时选的个数。那么假如要多选一个数，就在之前的代价上多加一个k。这样子，就成功将一个m优化成了log。
细节
还要注意，由于斜率是单调不降的，所以可能有斜率相同的一部分，这个我们就钦定在答案最优的前提下尽量少选或多选数，这样可以得到斜率相同的一段的起点或者终点，然后就行了。
文章最后发布于: 2018-12-06 20:58:25
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