「一阶微分方程」一阶常微分方程

一阶微分方程

文章目录

变量替换法：
常数变易法：

解一个像 $y^{'} + p (x) y = q (x) y'+p(x)y=q(x)$ y′+p(x)y=q(x)这样的

$p (x), q (x) 一下简写成 p, q p(x),q(x)一下简写成p,q$ p(x),q(x)一下简写成p,q

变量替换法：

$令 y = u v 令y=uv$ 令y=uv

$y^{'} = u^{'} v + u v^{'} y'=u'v+uv'$ y′=u′v+uv′

$u^{'} v + u v^{'} + p u v = q u'v+uv'+puv=q$ u′v+uv′+puv=q

$u^{'} v + u u'v+u$ u′v+u $(v^{'} + p v) (v'+pv)$ (v′+pv) $= q =q$ =q

要是红色的这一项是0就好啦~

那我们就让他等于0吧(๑◡๑)

$v^{'} + p v = 0 v'+pv=0$ v′+pv=0

$\frac{v^{'}}{v} \frac{v'}{v}$ vv′=–p

$\int \frac{v^{'}}{v} \int\frac{v'}{v}$ ∫vv′dx= $\int \int$ ∫–pdx

$l n v = \int - - p d x ln\ v=\int--pdx$ lnv=∫−−pdx

$v = C_{1} e^{\int - p d x} v=C_1e^{\int-pdx}$ v=C1e∫−pdx

$所以, 当 v 等于这么多时，那一坨就没了所以,当v等于这么多时，那一坨就没了$ 所以,当v等于这么多时，那一坨就没了

$这时只需要求 u^{'} v = q 了这时只需要求 u'v=q 了$ 这时只需要求u′v=q了

$u^{'} = \frac{q}{v} u'=\frac{q}{v}$ u′=vq

$\int u^{'} d x = \int \frac{q}{v} d x \int u'dx=\int\frac{q}{v}dx$ ∫u′dx=∫vqdx

$u = \int \frac{q}{v} d x + C_{2} u=\int\frac{q}{v}dx+C_2$ u=∫vqdx+C2

$= \int \frac{q}{C_{1} e^{\int - p d x}} d x + C_{2} =\int\frac{q}{C_1e^{\int-pdx}}dx+C_2$ =∫C1e∫−pdxqdx+C2

$这样 u 和 v 就都求出来了这样u和v就都求出来了$ 这样u和v就都求出来了

$所以 y 就 = u v 所以y就=uv$ 所以y就=uv

$= (\int \frac{q}{C_{1} e^{\int - p d x}} d x + C_{2}) C_{1} e^{\int - p d x} =(\int\frac{q}{C_1e^{\int-pdx}}dx+C_2)C_1e^{\int-pdx}$ =(∫C1e∫−pdxqdx+C2)C1e∫−pdx

$= (\int \frac{q}{C_{1} e^{\int - p d x}} d x + C) e^{\int - p d x} =(\int\frac{q}{C_1e^{\int-pdx}}dx+C)e^{\int-pdx}$ =(∫C1e∫−pdxqdx+C)e∫−pdx

这种叫做变量替换法

常数变易法：

$当 q = 0 的时候， y 就好求当q=0的时候，y就好求$ 当q=0的时候，y就好求

$y = C e^{\int - p d x} y=Ce^{\int-pdx}$ y=Ce∫−pdx

$但 q 不等于 0 ，所以那个常数 C 肯定不会是常数，就让他变成 u 吧但q不等于0，所以那个常数C肯定不会是常数，就让他变成u吧$ 但q不等于0，所以那个常数C肯定不会是常数，就让他变成u吧

$y = u e^{\int - p d x} y=ue^{\int-pdx}$ y=ue∫−pdx

$然后再带入原方程把 u 反解出来：然后再带入原方程把u反解出来：$ 然后再带入原方程把u反解出来：

$u = \int \frac{q}{e^{\int - p d x}} + C u=\int\frac{q}{e^{\int-pdx}}+C$ u=∫e∫−pdxq+C

所以

$y = (\int \frac{q}{C_{1} e^{\int - p d x}} d x + C) e^{\int - p d x} y=(\int\frac{q}{C_1e^{\int-pdx}}dx+C)e^{\int-pdx}$ y=(∫C1e∫−pdxqdx+C)e∫−pdx

文章最后发布于: 2018-03-27 16:56:03

一阶常微分方程