「l1」机器学习中正则化项L1和L2的直观理解

l1

正则化（Regularization）

机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作 $ℓ_{1} \ell_1$ ℓ1-norm 和 $ℓ_{2} \ell_2$ ℓ2-norm，中文称作 L1正则化 和 L2正则化，或者 L1范数 和 L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项 $α ∣ ∣ w ∣ ∣_{1} \alpha||w||_1$ α∣∣w∣∣1即为L1正则化项。

lasso regression

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项 $α ∣ ∣ w ∣ ∣_{2}^{2} \alpha||w||_2^2$ α∣∣w∣∣22即为L2正则化项。

ridge regression

一般回归分析中回归 $w w$ w表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

L1正则化是指权值向量 $w w$ w中各个元素的绝对值之和，通常表示为 $∣ ∣ w ∣ ∣_{1} ||w||_1$ ∣∣w∣∣1
L2正则化是指权值向量 $w w$ w中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为 $∣ ∣ w ∣ ∣_{2} ||w||_2$ ∣∣w∣∣2

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用 $α \alpha$ α表示，一些文章也用 $λ \ lambda$ λ表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。

L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

稀疏模型与特征选择

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

L1和L2正则化的直观理解

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

##L1正则化和特征选择

假设有如下带L1正则化的损失函数：

$\begin{matrix} (1) & J = J_{0} + α \sum_{w} ∣ w ∣ \end{matrix} J = J_0 + \alpha \sum_w{|w|} \tag{1}$ J=J0+αw∑∣w∣(1)

其中 $J_{0} J_0$ J0是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项， $α \alpha$ α是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和， $J J$ J是带有绝对值符号的函数，因此 $J J$ J是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数 $J_{0} J_0$ J0后添加L1正则化项时，相当于对 $J_{0} J_0$ J0做了一个约束。令 $L = α \sum_{w} ∣ w ∣ L = \alpha \sum_w{|w|}$ L=α∑w∣w∣，则 $J = J_{0} + L J = J_0 + L$ J=J0+L，此时我们的任务变成在 $L L$ L约束下求出 $J_{0} J_0$ J0取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值 $w^{1} w^1$ w1和 $w^{2} w^2$ w2，此时 $L = ∣ w^{1} ∣ + ∣ w^{2} ∣ L = |w^1|+|w^2|$ L=∣w1∣+∣w2∣对于梯度下降法，求解 $J_{0} J_0$ J0的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数 $L L$ L也可以在 $w^{1} w^{2} w^1w^2$ w1w2的二维平面上画出来。如下图：

@图1 L1正则化

图1 L1正则化

图中等值线是 $J_{0} J_0$ J0的等值线，黑色方形是 $L L$ L函数的图形。在图中，当 $J_{0} J_0$ J0等值线与 $L L$ L图形首次相交的地方就是最优解。上图中 $J_{0} J_0$ J0与 $L L$ L在 $L L$ L的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是 $(w^{1}, w^{2}) = (0, w) (w^1, w^2) = (0, w)$ (w1,w2)=(0,w)。可以直观想象，因为 $L L$ L函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多）， $J_{0} J_0$ J0与这些角接触的机率会远大于与 $L L$ L其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数 $α \alpha$ α，可以控制 $L L$ L图形的大小。 $α \alpha$ α越小， $L L$ L的图形越大（上图中的黑色方框）； $α \alpha$ α越大， $L L$ L的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值 $(w 1, w 2) = (0, w) (w1,w2)=(0,w)$ (w1,w2)=(0,w)中的 $w w$ w可以取到很小的值。

类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：

$\begin{matrix} (2) & J = J_{0} + α \sum_{w} w^{2} \end{matrix} J = J_0 + \alpha \sum_w{w^2} \tag{2}$ J=J0+αw∑w2(2)

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

@图2 L2正则化

图2 L2正则化

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此 $J_{0} J_0$ J0与 $L L$ L相交时使得 $w^{1} w^1$ w1或 $w^{2} w^2$ w2等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

L2正则化和过拟合

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为 $θ \theta$ θ， $h_{θ} (x) h_\theta(x)$ hθ(x)是我们的假设函数。线性回归一般使用平方差损失函数。单个样本的平方差是 $(h_{θ} (x) - y)^{2} (h_\theta(x) - y)^2$ (hθ(x)−y)2，如果考虑所有样本，损失函数是对每个样本的平方差求和，假设有 $m m$ m个样本，线性回归的代价函数如下，为了后续处理方便，乘以一个常数 $\frac{1}{2 m} \frac{1}{2m}$ 2m1：

$\begin{matrix} (3) & J (θ) = \frac{1}{2 m} \sum_{i = 1}^{m} (h_{θ} (x^{(i)}) - y^{(i)})^{2} \end{matrix} J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 \tag{3}$ J(θ)=2m1i=1∑m(hθ(x(i))−y(i))2(3)

在梯度下降算法中，需要先对参数求导，得到梯度。梯度本身是上升最快的方向，为了让损失尽可能小，沿梯度的负方向更新参数即可。

对于单个样本，先对某个参数 $θ_{j} \theta_j$ θj求导：

$\begin{matrix} (3.1) & \frac{\partial}{\partial θ_{j}} J (θ) = \frac{1}{m} (h_{θ} (x) - y) \frac{\partial}{\partial θ_{j}} h_{θ} (x) \end{matrix} \frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta) = \frac{1}{m} (h_\theta(x) - y) \frac{\partial}{\partial \theta_j} h_\theta(x) \tag{3.1}$ ∂θj∂J(θ)=m1(hθ(x)−y)∂θj∂hθ(x)(3.1)

注意到 $h_{θ} (x) h_\theta(x)$ hθ(x)的表达式是 $h_{θ} (x) = θ_{0} x_{0} + θ_{1} x_{1} + \dots + θ_{n} x_{n} h_\theta(x)=\theta_0 x_0 + \theta_1 x_1 + \dots + \theta_n x_n$ hθ(x)=θ0x0+θ1x1+⋯+θnxn. 单个样本对某个参数 $θ_{j} \theta_j$ θj求导， $\frac{\partial}{\partial θ_{j}} h_{θ} (x) = x_{j} \frac{\partial}{\partial \theta_j} h_\theta(x) = x_j$ ∂θj∂hθ(x)=xj. 最终(3.1)式结果如下：

$\begin{matrix} (3.2) & \frac{\partial}{\partial θ_{j}} J (θ) = \frac{1}{m} (h_{θ} (x) - y) x_{j} \end{matrix} \frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta) = \frac{1}{m} (h_\theta(x) - y) x_j \tag{3.2}$ ∂θj∂J(θ)=m1(hθ(x)−y)xj(3.2)

在考虑所有样本的情况，将每个样本对 $θ_{j} \theta_j$ θj的导数求和即可，得到下式：

$\begin{matrix} (3.3) & \frac{\partial}{\partial θ_{j}} J (θ) = \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} (h_{θ} (x^{(i)}) - y^{(i)}) x_{j}^{(i)} \end{matrix} \frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) x_j^{(i)} \tag{3.3}$ ∂θj∂J(θ)=m1i=1∑m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)(3.3)

梯度下降算法中，为了尽快收敛，会沿梯度的负方向更新参数，因此在(3.3)式前添加一个负号，并乘以一个系数 $α \alpha$ α（即学习率），得到最终用于迭代计算参数 $θ_{j} \theta_j$ θj的形式：

$\begin{matrix} (4) & θ_{j} : = θ_{j} - α \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} (h_{θ} (x^{(i)}) - y^{(i)}) x_{j}^{(i)} \end{matrix} \theta_j := \theta_j - \alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)} \tag{4}$ θj:=θj−αm1i=1∑m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)(4)

其中 $α \alpha$ α是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：

$\begin{matrix} (5) & θ_{j} : = θ_{j} (1 - α \frac{λ}{m}) - α \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} (h_{θ} (x^{(i)}) - y^{(i)}) x_{j}^{(i)} \end{matrix} \theta_j := \theta_j(1-\alpha \frac{\lambda}{m}) - \alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)} \tag{5}$ θj:=θj(1−αmλ)−αm1i=1∑m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)(5)

其中 $λ \lambda$ λ就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代， $θ_{j} \theta_j$ θj都要先乘以一个小于1的因子，从而使得 $θ_{j} \theta_j$ θj不断减小，因此总得来看， $θ \theta$ θ是不断减小的。

最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。

正则化参数的选择

L1正则化参数

通常越大的 $λ \lambda$ λ可以让代价函数在参数为0时取到最小值。下面是一个简单的例子，这个例子来自Quora上的问答。为了方便叙述，一些符号跟这篇帖子的符号保持一致。

假设有如下带L1正则化项的代价函数：

$F (x) = f (x) + λ ∣ ∣ x ∣ ∣_{1} F(x) = f(x) + \lambda ||x||_1$ F(x)=f(x)+λ∣∣x∣∣1

其中 $x x$ x是要估计的参数，相当于上文中提到的 $w w$ w以及 $θ \theta$ θ. 注意到L1正则化在某些位置是不可导的，当 $λ \lambda$ λ足够大时可以使得 $F (x) F(x)$ F(x)在 $x = 0 x = 0$ x=0时取到最小值。如下图：

@图3 L1正则化参数的选择

图3 L1正则化参数的选择

分别取 $λ = 0.5 \lambda = 0.5$ λ=0.5和 $λ = 2 \lambda = 2$ λ=2，可以看到越大的 $λ \lambda$ λ越容易使 $F (x) F(x)$ F(x)在 $x = 0 x=0$ x=0时取到最小值。

L2正则化参数

从公式5可以看到， $λ \lambda$ λ越大， $θ_{j} \theta_j$ θj衰减得越快。另一个理解可以参考图2， $λ \lambda$ λ越大，L2圆的半径越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小。

Reference

过拟合的解释：

https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss2.html

正则化的解释：

https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss1.html

正则化的解释：

http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44261657

正则化的数学解释（一些图来源于这里）：

http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995

机器学习中正则化项L1和L2的直观理解

l1

正则化（Regularization）

稀疏模型与特征选择

L1和L2正则化的直观理解

L2正则化和过拟合

正则化参数的选择

L1正则化参数

L2正则化参数

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