「硬币组合」钱币组合问题（一）：（每种硬币不限次数）

硬币组合

钱币组合问题（一）：（每种硬币不限次数）

假设我们有8种不同面值的硬币｛1，2，5，10，20，50，100，200｝，用这些硬币组合够成一个给定的数值n。例如n=200，那么一种可能的组合方式为200 = 3 * 1 + 1＊2 + 1＊5 + 2＊20 + 1 * 50 + 1 * 100. 问总过有多少种可能的组合方式？

思路一：暴力穷举

每种硬币最多为N/coins，当n较小时，可以穷举出,注意本程序需要n>200,否则需要更改if判断的位置。（时间超时）

public static int cb = 0;
	public static void brute(int[] coins,int n){
		//有多少种币就有多少个for,此题共有7种
		for(int i =0;i<=n/coins[0];i++){
			for(int j =0;j<=n/coins[1];j++){
				for(int k =0;k<=n/coins[2];k++){
					for(int l =0;l<=n/coins[3];l++){
						for(int m =0;m<=n/coins[4];m++){
							for(int o =0;o<=n/coins[5];o++){
								for(int p =0;p<=n/coins[6];p++){
									if((coins[0]*i+coins[1]*j+coins[2]*k+coins[3]*l+coins[4]*m+coins[5]*o+coins[6]*p)==n){
										cb++;
										//System.out.println("1 2 5 10 20 50 100 各使用"+i+j+k+l+m+o+p+"种");
									};
								}
							}
						}
					}
				}
			}
		}
	}

思路二：分支限界，深度遍历，去掉大于N的情况，注意每种硬币允许使用多次，且122与212、221属于同一种情况，所以限定每次使用的币种（coins[i]）应大于等于上次使用的币种（coins[coinlocation]）（时间超时）

static int cc = 0;	//统计总共的数目
	static int[] sum = {0,0,0,0,0,0,0};//用于打印使用状况
	/**
	 * @param coins 钱币列表
	 * @param n 总金额
	 * @param count 当前金额
	 * @param coinlocation 当前使用币种的下标
	 */
	public static void dfs(int[] coins,int n,int count,int coinlocation){
		if(count==n){
			cc++;
			for(int i =0;i<sum.length;i++){
				System.out.print("使用 "+coins[i]+"元："+sum[i]+"个,");
			}
			System.out.println();
		}else if(count > n){
			return;
		}else {
			//遍历每一种硬币,允许1 2 2，不允许2，1,2
			for(int i=coinlocation;i<coins.length;i++){
				sum[i]++;
				dfs(coins,n,count+coins[i],i);
				sum[i]--;
			}
		}
	}

思路三：动态规划

设d[i][sum]为使用第i中钱币时达到总金额sum的方案数目所以对于钱币i（coins[i]）,可以不使用i、使用一个i、使用两个i......使用sum/coins[i]个i，即个，其中用d[i][0] = 1(只有一种方案，即什么币种也不用)d[0][i] =0(不用任何币种组成任意钱数，没有这种操作)。

public static void dynamic_prommgram(int[] coins,int n){
		int[][] d = new int[coins.length+1][n+1];//length+1表示不适用任何币种、只使用1、只使用1 2 只使用1 2 3......等等，共length+1种情况，且n+1表示总计0、1.....至n元共n+1种情况
		for(int i = 0;i<=coins.length;i++) d[i][0] = 1; 
		for(int i = 1 ;i<=coins.length;i++){//因为d[0][i]是0，所以i从1开始
			for(int sum = 1;sum<=n;sum++){//由于d[i][0]==1，所以j从1开始
				for(int k=0;k<=sum/coins[i-1];k++){//例如，使用面值为1时，对应的coins[]下标是i-1，逻辑上河实际上不是一致的
					d[i][sum] +=d[i-1][sum-k*coins[i-1]];
				}				
			}
		}
		System.out.println(d[coins.length][n]);
	}

当然，程序可以简化为一维数组，二维数组的方式易于理解，但一维数组的方式更为简洁，因为d[i][sum]=ξ’d[i-1][X’]=ξ’ξ’d[i-2][X’’]=...即d[i-1]就是累加求和的中间量，所以可以直接使用一维数组表示：

public static void main(String[] args){
	    long[] d= new long[201];
	    d[0]=1;
	    int[] v={1,2,5,10,20,50,100
	    };
	    for(int i=0;i<7;i++){
	        for(int j=v[i];j<201;j++){
	            d[j]+=d[j-v[i]];	   //相当于     		        	
	        }
	    } 	 
	    System.out.println(200+"的组合方式有"+d[200]+"种");
}

参考博客：

1.http://www.cnblogs.com/Python27/archive/2013/09/05/3303721.html

C++

2.http://blog.csdn.net/qq_24871519/article/details/53260687

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