「微分方程模型」微分方程模型（一）

微分方程模型

人口模型：

量化人口增长的趋势

1.Malthus 模型

模型假设：

（i）设x(t)表示t时刻的人口数，且x(t)连续可微。

（ii）人口的增长率r 是常数（增长率=出生率—死亡率）。

（iii）人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的

生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力与死亡率。

建模求解：

由假设，t时刻到t + Δt 时刻人口的增量为x(t + Δt) − x(t) = rx(t)Δt。由泰勒展开式得x(t + Δt) − x(t) = (dx/dt)Δt.

于是可以得到：dx/dt=rx。x(0)=x $^{_{0}}$ 。

求解微分方程得：x (t)= x $e^{rt}$ .

模型评价：

基本符合1700~1961的世界人口预测，但是不符合1790年以来的美国人口增长规律。

显然，用这一模型进行预测的结果远高于实际人口增长，误差的原因是对增长率r

的估计过高。由此，可以对r 是常数的假设提出疑问。

2.阻滞增长模型（logistic 模型）

我们将增长率看成随人口增长而减少的函数，且r(x)为x的减函数。符合自然生长的规律。

模型假设：

（i）设r(x)为x的线性函数，r(x) = r − sx。（工程师原则，首先用线性

（ii）自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为 $x_{m}$ ，即当x = $x_{m}$ 时，增长率 r( $x_{m}$ )=0.

建模与求解:

由假设(i),(ii)可得r(x),即r(x)=r(1- x/ $x_{m}$ ),

同理有 dx/dt=r(1- x/ $x_{m}$ )x, x( $t_{0}$ )= $x_{0}$ .

求得x(t)= $\frac{x_{m}}{1+(\frac{x_{m}}{x_{0}}-1)e^{-r(t-t_{0})}}$ .

与 Malthus 模型一样，代入一些实际数据进行验算,在1930 年之后，计算与实际偏差较大。原因之一是60 年代

的实际人口已经突破了假设的极限人口 $x_{m}$ ，由此可知，本模型的缺点之一就是不易确定 $x_{m}$ 。