「求和符号」关于（求和符号∑）不可不知的事情

求和符号

文章向导

从单重求和谈起（定义与基本性质）
多重求和（二重情况）
求和的实际应用（等比级数）

引言：

求和符号经常活跃于数学或工程实际问题中，特别是处于多重求和情况时，连用的求和符号存在运算的优先顺序，有时我们可以直接互换不同求和符号之间的位置，而有时不同的位置则代表不同的求和意义。因此，关于求和符号∑的问题还是很有必要进行一番细致的讨论。

一、从单重求和谈起

我们通过一个稍微简单的例子来回顾下求和符号的使用（如下所示）。 $\sum_{i = 1}^{10} g (k, l) h (i, j) = g (k, l) \sum_{i = 1}^{10} h (i, j) \sum_{i=1}^{10}{g\left( k,l \right) h\left( i,j \right)}=g\left( k,l \right) \sum_{i=1}^{10}{h\left( i,j \right)}$ i=1∑10g(k,l)h(i,j)=g(k,l)i=1∑10h(i,j)

求和符号展开的关键在于替换所有的计数下标，本例中 $g (k, l) g\left( k,l \right)$ g(k,l)与计数下标i无关，故可直接提取到求和符号外。最终结果如下所示： $g (k, l) (h (1, j) + h (2, j) + \cdot \cdot \cdot + h (10, j)) g\left( k,l \right) \left( h\left( \text{1,}j \right) +h\left( \text{2,}j \right) +···+h\left( \text{10,}j \right) \right)$ g(k,l)(h(1,j)+h(2,j)+⋅⋅⋅+h(10,j))

二、多重求和（二重情况）

当出现两个及以上的求和符号时，它们之间必然存在着某种运算的优先顺序。为便于理解和阅读，我们也可以适当对其添加括号来明确这种运算顺序。比如下面这样： $\sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{4} f (i, j) = \sum_{i = 1}^{3} (\sum_{j = 1}^{4} f (i, j)) = \sum_{i = 1}^{3} (f (i, 1) + f (i, 2) + f (i, 3) + f (i, 4)) \sum_{i=1}^3{\sum_{j=1}^4{f\left( i,j \right) =\sum_{i=1}^3{\left( \sum_{j=1}^4{f\left( i,j \right)} \right)}}}=\sum_{i=1}^3{\left( f\left( i,1 \right) +f\left( i,2 \right) +f\left( i,3 \right) +f\left( i,4 \right) \right)}$ i=1∑3j=1∑4f(i,j)=i=1∑3(j=1∑4f(i,j))=i=1∑3(f(i,1)+f(i,2)+f(i,3)+f(i,4))

但实际上，由于计数下标i和j的范围不同，上述双重求和表达式中的两个求和符号的顺序可以互换，即可以写成下面这种形式： $\sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{4} f (i, j) = \sum_{j = 1}^{4} \sum_{i = 1}^{3} f (i, j) \sum_{i=1}^3{\sum_{j=1}^4{f\left( i,j \right) =\sum_{j=1}^4{\sum_{i=1}^3{f\left( i,j \right)}}}}$ i=1∑3j=1∑4f(i,j)=j=1∑4i=1∑3f(i,j)

既然存在可以直接互换的情况，那么也必然存在求和符号顺序不可直接互换的情况，比如下面这个例子，如果强行直接互换两者，那么其表达式的意义也就发生了变化。

$原式： \sum_{i = 1}^{4} \sum_{j = 1}^{i} f (i, j) 原式：\sum_{i=1}^4{\sum_{j=1}^i{f\left( i,j \right)}}$ 原式：∑i=14∑j=1if(i,j)　　(2-1)

$错误的表达式： \sum_{j = 1}^{i} \sum_{i = 1}^{4} f (i, j) 错误的表达式：\sum_{j=1}^i{\sum_{i=1}^4{f\left( i,j \right)}}$ 错误的表达式：∑j=1i∑i=14f(i,j)　(2-2)

$意义已变： \sum_{j = 1}^{4} \sum_{i = 1}^{j} f (i, j) 意义已变：\sum_{j=1}^4{\sum_{i=1}^j{f\left( i,j \right)}}$ 意义已变：∑j=14∑i=1jf(i,j)　(2-3)

首先分析下式（2-1），由于j的范围取决于i，因此我们不能直接换行两个求和符号的顺序。如果强行互换得到式(2-2)，俨然将得到一个错误的表达式。因为由于 $\sum_{j = 1}^{i} \sum_{j=1}^i{}$ ∑j=1i已经使用了计数下标i，所以内层求和符号不能再使用i作为计数下标。

那么，如（2-3）这样机械式的互换是否又是可行的呢？答案是否定的，虽然如此互换后得到的式子是正确的，但含义却已改变（与原式对比很容易观察到）。

正确的替换方式如下所示，到此的读者可以用心感悟下它与前面几种做法的区别： $\sum_{i = 1}^{4} \sum_{j = 1}^{i} f (i, j) = \sum_{j = 1}^{4} \sum_{i = j}^{4} f (i, j) \sum_{i=1}^4{\sum_{j=1}^i{f\left( i,j \right) =\sum_{j=1}^4{\sum_{i=j}^4{f\left( i,j \right)}}}}$ i=1∑4j=1∑if(i,j)=j=1∑4i=j∑4f(i,j)

等式两边可以按照穷举法的思路来进行理解，为便于说明笔者将给出一份表格来辅助解释。（等式左右两边都表示表格中所有项相加之和）

在这里插入图片描述

左边：穷举i的取值，内层元素求和，在表格中体现为依次横排相加。

右边：穷举j的取值，内层元素求和，在表格中体现为竖排相加。

最后，谈一个小技巧（也是容易出错的地方）。比如下面这个式子，简单理解来看，似乎可以如此将平方展开。但正如前面所说，由于外层求和使用了计数下标i，故内层必须使用其他字母来作为计数下标。

${(\sum_{i = 1}^{5} f (i))}^{2} = (\sum_{i = 1}^{5} f (i)) * (\sum_{i = 1}^{5} f (i)) = ̸ \sum_{i = 1}^{5} \sum_{i = 1}^{5} f (i) f (i) \left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) ^2=\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) *\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) =\not \sum_{i=1}^5{\sum_{i=1}^5{f\left( i \right) f\left( i \right)}}$ (i=1∑5f(i))2=(i=1∑5f(i))∗(i=1∑5f(i))≠i=1∑5i=1∑5f(i)f(i)

正确的表达形式应该改为如下所示（内层计数下标为j）

${(\sum_{i = 1}^{5} f (i))}^{2} = (\sum_{i = 1}^{5} f (i)) * (\sum_{i = 1}^{5} f (i)) = \sum_{i = 1}^{5} \sum_{j = 1}^{5} f (i) f (j) \left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) ^2=\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) *\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) =\sum_{i=1}^5{\sum_{j=1}^5{f\left( i \right) f\left( j \right)}}$ (i=1∑5f(i))2=(i=1∑5f(i))∗(i=1∑5f(i))=i=1∑5j=1∑5f(i)f(j)

三、求和的实际应用（等比级数）

一个常见的等比数列{ $a_{i} a_i$ ai}可以描述为如下的形式（设 $m ⩽ n m\leqslant n$ m⩽n，其中r为公比，通项公式为 $a_{i} = r^{i} a_i=r^i$ ai=ri）：

$\sum_{i = m}^{n} r^{i} = \frac{r^{m} - r^{n + 1}}{1 - r} = \frac{a_{1} - a_{n} ∙ r}{1 - r} (r = ̸ 1) \sum_{i=m}^n{r^i=\frac{r^m-r^{n+1}}{1-r}}=\frac{a_1-a_n\bullet r}{1-r}\,\,\left( r=\not 1 \right)$ i=m∑nri=1−rrm−rn+1=1−ra1−an∙r(r≠1)

当 $n \to \infty n\rightarrow \infty$ n→∞时，上述就成为了等比级数，此时等式转换为：

$\sum_{i = 1}^{\infty} r^{i} = \frac{r}{1 - r} (∣ r ∣ < 1) （ 3 - 1 ） \sum_{i=1}^{\infty}{r^i=\frac{r}{1-r}\,\,\,\,\left( |r|<1 \right)} （3-1）$ i=1∑∞ri=1−rr(∣r∣<1)（3−1）

当 $∣ r ∣ ⩾ 1 |r|\geqslant 1$ ∣r∣⩾1时，上述的求和表达式不收敛。

借助式（3-1）与微分的特性，我们还能导出另一条有用的结论。先对（3-1）式关于r进行微分，然后两边乘以r可得到如下等式：

$（先微分） \sum_{i = 1}^{\infty} i r^{i - 1} = \frac{1}{{(1 - r)}^{2}} （先微分）　\sum_{i=1}^{\infty}i{r^{i-1}=\frac{1}{\left( 1-r \right) ^2}}$ （先微分）　i=1∑∞iri−1=(1−r)21

$（两边同乘以 r ） \sum_{i = 1}^{\infty} i r^{i} = \frac{r}{{(1 - r)}^{2}} (∣ r ∣ < 1) （ 3 - 2 ）（两边同乘以r）\sum_{i=1}^{\infty}{ir^i=\frac{r}{\left( 1-r \right) ^2}}\,\,\left( |r|<1 \right) （3-2）$ （两边同乘以r）i=1∑∞iri=(1−r)2r(∣r∣<1)（3−2）

最后得到的（3-2）式也是经常会用到的结论，希望读者能掌握这种推导演算思路。

参阅资料
程序员的数学（概率统计）
高等数学（同济6版）
普林斯顿微积分读本

关于（求和符号∑）不可不知的事情

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