无穷小与无穷大

　

无穷大

无穷小

定义

如果函数$f\left(x\right)$f(x)当$x\to x_0$x→x0​(或$x\to \mathrm{\infty }$x→∞)时的极限为零，那么称函数$f\left(x\right)$f(x)为当$x\to x_0$x→x0​(或$x\to \mathrm{\infty }$x→∞)时的无穷小。

注意：

（1）无穷小不可以和很小的量混为一谈，无穷小量不是指量的大小，而是指量的变化趋势（以零为极限）；

（2）无穷小是这样的函数：在$x\to x_0$x→x0​(或$x\to \mathrm{\infty }$x→∞)过程中，函数的绝对值能小于任意给定的正数$ϵ$ϵ。而很小的数如百万分之一，就不能小于任意给定的正数$ϵ$ϵ。例如取$ϵ$ϵ等于千万分之一，则百万分之一就不能小于这个给定的$ϵ$ϵ。但零是可以作为无穷小的唯一常数，因为如果$f\left(x\right)\equiv 0$f(x)≡0，那么对于任意给定的正数$ϵ$ϵ，总有$\mathrm{\mid }f\left(x\right)\mathrm{\mid }\&lt;ϵ$∣f(x)∣<ϵ

无穷大

定义

设函数$f\left(x\right)$f(x)在$x_0$x0​的某一去心领域内有定义（或$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$∣x∣大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数$M$M（不论它多么大），总存在正数$\delta$δ（或正数$X$X），只要$x$x适合不等式$0\&lt;\mathrm{\mid }x-x_0\mathrm{\mid }\&lt;\delta$0<∣x−x0​∣<δ（或$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\&gt;X$∣x∣>X），对应的函数值$f\left(x\right)$f(x)总满足不等式$\mathrm{\mid }f\left(x\right)\mathrm{\mid }\&gt;M,$∣f(x)∣>M,则称函数$f\left(x\right)$f(x)为当$x\to x_0$x→x0​(或$x\to \mathrm{\infty }$x→∞)时的无穷大。

无穷小的比较

两个无穷小的和、差及乘积仍旧是无穷小。

但是，关于两个无穷小的商，却会出现不同的情况。例如，当$x\to 0$x→0时，$3x\mathrm{、}{x}^2\mathrm{、}\sin x$3x、x2、sinx都是无穷小，而

$\underset{}{\lim }\frac{x^2}{3x}=0\mathrm{，}\underset{}{\lim }\frac{3x}{x^2}=\mathrm{\infty }\mathrm{，}\underset{}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$x→0lim​3xx2​=0，x→0lim​x23x​=∞，x→0lim​xsinx​=1

两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢程度”。

设$\alpha \mathrm{、}\beta$α、β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且$\alpha \mathrm{\ne }0\mathrm{，}\lim \frac{\beta }{\alpha }$α̸​=0，limαβ​也是在这个变化过程中的极限：

1.如果$\lim \frac{\beta }{\alpha }=0$limαβ​=0，就说$\beta$β是比$\alpha$α高阶的无穷小，记作$\beta =o\left(\alpha \right)$β=o(α)。

2.如果$\lim \frac{\beta }{\alpha }=\mathrm{\infty }$limαβ​=∞，就说$\beta$β是比$\alpha$α低阶的无穷小。

3.如果$\lim \frac{\beta }{\alpha }=c\mathrm{\ne }0$limαβ​=c̸​=0，就说$\beta$β是与$\alpha$α同阶无穷小。

4.如果$\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=c\mathrm{\ne }0$limαkβ​=c̸​=0，就说$\beta$β是关于$\alpha$α的$k$k阶无穷小。

5.如果$\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=1$limαkβ​=1，就说$\beta$β是与$\alpha$α等阶无穷小，记作$\alpha \sim \beta$α∼β。

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