高等数学（下）空间解析几何与向量代数

　

空间解析几何

• 1 向量代数
  • 1.1 向量及其线性运算
    • 1.1.1 方向角与方向余弦
      • 1.1.1.1 定义
      • 1.1.1.2 计算法
  • 1.2 数量积 向量积 混合积
    • 1.2.1 数量积
      • 1.2.1.1 定义
      • 1.2.1.2 用数量积表示向量的模
      • 1.2.1.3 数量积判定两向量是否垂直
    • 1.2.2 向量积
      • 1.2.2.1 定义
    • 1.2.3 混合积
      • 1.2.3.1 定义
      • 1.2.3.2 混合积判定共面
      • 1.2.3.3 计算四面体体积
• 2 解析几何
  • 2.1 曲面及其方程
    • 2.1.1 常见的二次曲面的标准方程
      • 2.1.1.1 球面方程
      • 2.1.1.2 椭球面方程
      • 2.1.1.3 单叶双曲面方程
      • 2.1.1.4 双叶双曲面方程
  • 2.2 平面及其方程
    • 2.2.1 平面的方程
      • 2.2.1.1 点法式方程
      • 2.2.1.2 一般式方程
      • 2.2.1.3 截距式方程
    • 2.2.2 点到平面的距离
  • 2.3 空间直线及其方程
    • 2.3.1 直线方程
      • 2.3.1.1 一般式方程（交面式方程）
      • 2.3.1.2 对称式方程（点向式方程）
      • 2.3.1.3 参数式方程
      • 2.3.1.3 两点式方程
    • 2.3.2 距离公式
      • 2.3.2.1 点到直线的距离
      • 2.3.2.2 两条直线间的距离

1 向量代数

1.1 向量及其线性运算

1.1.1 方向角与方向余弦

1.1.1.1 定义

非零向量a→" role="presentation" style="position: relative;">a⃗$\overrightarrow{a}$与坐标轴的三个夹角α、β、γ" role="presentation" style="position: relative;">α、β、γ$\alpha 、\beta 、\gamma$称为向量a→" role="presentation" style="position: relative;">a⃗$\overrightarrow{a}$的方向角。

cosα、cosβ、cosγ" role="presentation" style="position: relative;">cosα、cosβ、cosγ$cos\alpha 、cos\beta 、cos\gamma$称为向量a→" role="presentation" style="position: relative;">a⃗$\overrightarrow{a}$的方向余弦。

1.1.1.2 计算法

以向量a→" role="presentation" style="position: relative;">a⃗$\overrightarrow{a}$的方向余弦为坐标的向量就是与a→" role="presentation" style="position: relative;">a⃗$\overrightarrow{a}$同方向的单位向量e→" role="presentation" style="position: relative;">e⃗$\overrightarrow{e}$。

故cos2α+cos2β+cos2γ=1,ea→=(cosα,cosβ,cosγ)" role="presentation" style="position: relative;">cos2α+cos2β+cos2γ=1,ea→=(cosα,cosβ,cosγ)$co{s}^2\alpha +co{s}^2\beta +co{s}^2\gamma =1,\overrightarrow{e_a}=(cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma )$。

若a→=(x,y,z）" role="presentation" style="position: relative;">a⃗=(x,y,z）$\overrightarrow{a}=(x,y,z）$，则cosα=xx2+y2+z2,cosβ=yx2+y2+z2,cosγ=zx2+y2+z2" role="presentation" style="position: relative;">cosα=xx2+y2+z2√,cosβ=yx2+y2+z2√,cosγ=zx2+y2+z2√$cos\alpha =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},cos\beta =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},cos\gamma =\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

1.2 数量积 向量积 混合积

1.2.1 数量积

1.2.1.1 定义

a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅cosθ" role="presentation" style="position: relative;">a⃗⋅b⃗=|a⃗|⋅|b⃗|⋅cosθ$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot cos\theta$

在空间直角坐标系下，若a→=(x1,y1,z1),b→=(x2,y2,z2)" role="presentation" style="position: relative;">a⃗=(x1,y1,z1),b⃗=(x2,y2,z2)$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则a→⋅b→=x1x2+y1y2+z1z2" role="presentation" style="position: relative;">a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2+z1z2$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$

1.2.1.2 用数量积表示向量的模

|a→|=a→⋅a→" role="presentation">|a⃗|=a⃗⋅a⃗−−−−√$$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}}$$

1.2.1.3 数量积判定两向量是否垂直

a→⊥b→⇔a→⋅b→⇔x1x2+y1y2+z1z2=0" role="presentation">a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗⇔x1x2+y1y2+z1z2=0$$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\iff x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2=0$$

1.2.2 向量积

1.2.2.1 定义

|a→×b→|=|a→|⋅|b→|⋅sin(a→,b→)" role="presentation" style="position: relative;">|a⃗×b⃗|=|a⃗|⋅|b⃗|⋅sin(a⃗,b⃗)$|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot sin(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$，方向垂直于a→" role="presentation" style="position: relative;">a⃗$\overrightarrow{a}$且垂直于b→" role="presentation" style="position: relative;">b⃗$\overrightarrow{b}$，并且a→、b→、a→×b→" role="presentation" style="position: relative;">a⃗、b⃗、a⃗×b⃗$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}、\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$可构成右手系。

设a→=(x1,y1,z1),b→=(x2,y2,z2)" role="presentation" style="position: relative;">a⃗=(x1,y1,z1),b⃗=(x2,y2,z2)$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2)$则a→×b→=" role="presentation" style="position: relative;">a⃗×b⃗=$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=$ |i→j→k→x1y1z1x2y2z2|" role="presentation" style="position: relative;">∣∣∣∣∣i⃗x1x2j⃗y1y2k⃗z1z2∣∣∣∣∣$\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|$

1.2.3 混合积

1.2.3.1 定义

(a→×b→)⋅c→" role="presentation" style="position: relative;">(a⃗×b⃗)⋅c⃗$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$称为a→,b→,c→" role="presentation" style="position: relative;">a⃗,b⃗,c⃗$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$的混合积，记为[a→,b→,c→]" role="presentation" style="position: relative;">[a⃗,b⃗,c⃗]$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]$。

设a→=(x1,y1,z1),b→=(x2,y2,z2),c→=(x3,y3,z3)" role="presentation" style="position: relative;">a⃗=(x1,y1,z1),b⃗=(x2,y2,z2),c⃗=(x3,y3,z3)$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2),\overrightarrow{c}=(x_3,y_3,z_3)$

则[a→,b→,c→]=" role="presentation" style="position: relative;">[a⃗,b⃗,c⃗]=$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]=$ |x1y1z1x2y2z2x3y3z3|" role="presentation" style="position: relative;">∣∣∣∣x1x2x3y1y2y3z1z2z3∣∣∣∣$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|$

1.2.3.2 混合积判定共面

a→,b→,c→" role="presentation" style="position: relative;">a⃗,b⃗,c⃗$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 共面 ⇔[a→,b→,c→]=0" role="presentation" style="position: relative;">⇔[a⃗,b⃗,c⃗]=0$\iff [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]=0$

要证明不重合的四个点A，B，C，D共面（或者三线共面），只需要证明[AB→,AC→,AD→]=0" role="presentation" style="position: relative;">[AB→,AC→,AD→]=0$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=0$

1.2.3.3 计算四面体体积

用混合积计算以A，B，C，D为顶点的四面体的体积V：V=16[AB→,AC→,AD→]" role="presentation" style="position: relative;">V：V=16[AB→,AC→,AD→]$V：V=\frac{1}{6}[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]$

2 解析几何

2.1 曲面及其方程

2.1.1 常见的二次曲面的标准方程

2.1.1.1 球面方程

(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2" role="presentation" style="position: relative;">(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R^2$ 其中(x0,y0,z0)" role="presentation" style="position: relative;">(x0,y0,z0)$(x_0,y_0,z_0)$为球心，R>0" role="presentation" style="position: relative;">R>0$R>0$为球的半径

2.1.1.2 椭球面方程

(x−x0)2a2+(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1(a>0,b>0,c>0)" role="presentation" style="position: relative;">(x−x0)2a2+(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1(a>0,b>0,c>0)$\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}+\frac{(z-z_0{)}^2}{c^2}=1(a>0,b>0,c>0)$ 当 a=b=c" role="presentation" style="position: relative;">a=b=c$a=b=c$时，即为球面方程

2.1.1.3 单叶双曲面方程

(x−x0)2a2+(y−y0)2b2−(z−z0)2c2=1" role="presentation" style="position: relative;">(x−x0)2a2+(y−y0)2b2−(z−z0)2c2=1$\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}-\frac{(z-z_0{)}^2}{c^2}=1$ 或

−(x−x0)2a2+(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1" role="presentation" style="position: relative;">−(x−x0)2a2+(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1$-\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}+\frac{(z-z_0{)}^2}{c^2}=1$ 或

(x−x0)2a2−(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1(a>0,b>0,c>0)" role="presentation" style="position: relative;">(x−x0)2a2−(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1(a>0,b>0,c>0)$\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}-\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}+\frac{(z-z_0{)}^2}{c^2}=1(a>0,b>0,c>0)$

系数两项为正，一项为负

2.1.1.4 双叶双曲面方程

(x−x0)2a2−(y−y0)2b2−(z−z0)2c2=1" role="presentation" style="position: relative;">(x−x0)2a2−(y−y0)2b2−(z−z0)2c2=1$\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}-\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}-\frac{(z-z_0{)}^2}{c^2}=1$ 或

−(x−x0)2a2−(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1" role="presentation" style="position: relative;">−(x−x0)2a2−(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1$-\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}-\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}+\frac{(z-z_0{)}^2}{c^2}=1$ 或

−(x−x0)2a2+(y−y0)2b2−(z−z0)2c2=1(a>0,b>0,c>0)" role="presentation" style="position: relative;">−(x−x0)2a2+(y−y0)2b2−(z−z0)2c2=1(a>0,b>0,c>0)$-\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}-\frac{(z-z_0{)}^2}{c^2}=1(a>0,b>0,c>0)$

系数两项为负，一项为正

2.2 平面及其方程

2.2.1 平面的方程

2.2.1.1 点法式方程

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0" role="presentation">A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

其中P(x0,y0,z0)" role="presentation" style="position: relative;">P(x0,y0,z0)$P(x_0,y_0,z_0)$ 为平面上给定的已知点，n→=(A,B,C)" role="presentation" style="position: relative;">n⃗=(A,B,C)$\overrightarrow{n}=(A,B,C)$为平面的法向量

2.2.1.2 一般式方程

2.2.1.3 截距式方程

2.2.2 点到平面的距离

设给定点P0(x0,y0,z0)" role="presentation" style="position: relative;">P0(x0,y0,z0)$P_0(x_0,y_0,z_0)$及平面π:Ax+By+Cz+D=0" role="presentation" style="position: relative;">π:Ax+By+Cz+D=0$\pi :Ax+By+Cz+D=0$。则P0" role="presentation" style="position: relative;">P0$P_0$到π" role="presentation" style="position: relative;">π$\pi$的距离为

d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2" role="presentation">d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

2.3 空间直线及其方程

2.3.1 直线方程

2.3.1.1 一般式方程（交面式方程）

{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0" role="presentation">{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0$$\{\begin{array}{r}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$

2.3.1.2 对称式方程（点向式方程）

x−x0m=y−y0m=z−z0p" role="presentation">x−x0m=y−y0m=z−z0p$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{p}$$

其中P(x0,y0,z0)" role="presentation" style="position: relative;">P(x0,y0,z0)$P(x_0,y_0,z_0)$为直线上给定的已知点，s→=(m,n,p)" role="presentation" style="position: relative;">s⃗=(m,n,p)$\overrightarrow{s}=(m,n,p)$为直线的方向向量

2.3.1.3 参数式方程

{x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt" role="presentation">⎧⎩⎨xyz=x0+mt=y0+nt=z0+pt$$\{\begin{array}{rl}x& =x_0+mt\\ y& =y_0+nt\\ z& =z_0+pt\end{array}$$

其中P(x0,y0,z0)" role="presentation" style="position: relative;">P(x0,y0,z0)$P(x_0,y_0,z_0)$为直线上给定的已知点，s→=(m,n,p)" role="presentation" style="position: relative;">s⃗=(m,n,p)$\overrightarrow{s}=(m,n,p)$为直线的方向向量

2.3.1.3 两点式方程

2.3.2 距离公式

2.3.2.1 点到直线的距离

设给顶点P0(x0,y0,z0)" role="presentation" style="position: relative;">P0(x0,y0,z0)$P_0(x_0,y_0,z_0)$及直线l：x−x0m=y−y0m=z−z0p" role="presentation" style="position: relative;">l：x−x0m=y−y0m=z−z0p$l：\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{p}$，则P0" role="presentation" style="position: relative;">P0$P_0$到直线l" role="presentation" style="position: relative;">l$l$的距离为

d=|P0P1→×s→||s→|" role="presentation">d=|P0P1→×s⃗||s⃗|$$d=\frac{|\overrightarrow{P_0{P}_1}\times \overrightarrow{s}|}{|\overrightarrow{s}|}$$

其中P1(x1,y1,z1)" role="presentation" style="position: relative;">P1(x1,y1,z1)$P_1(x_1,y_1,z_1)$为直线上的某一定点，s→=(m,n,p)" role="presentation" style="position: relative;">s⃗=(m,n,p)$\overrightarrow{s}=(m,n,p)$为直线的方向向量

2.3.2.2 两条直线间的距离

设直线l1" role="presentation" style="position: relative;">l1$l_1$过P1" role="presentation" style="position: relative;">P1$P_1$点，方向向量为s1→" role="presentation" style="position: relative;">s1→$\overrightarrow{s_1}$，直线l2" role="presentation" style="position: relative;">l2$l_2$过P2" role="presentation" style="position: relative;">P2$P_2$点，方向向量为s2→" role="presentation" style="position: relative;">s2→$\overrightarrow{s_2}$，且s1→×s2→≠0→" role="presentation" style="position: relative;">s1→×s2→≠0⃗$\overrightarrow{s_1}\times \overrightarrow{s_2}\ne \overrightarrow{0}$，则l1" role="presentation" style="position: relative;">l1$l_1$与l2" role="presentation" style="position: relative;">l2$l_2$间的距离为

d=|P1P2→⋅(s1→×s2→)||s1→×s2→|" role="presentation">d=|P1P2→⋅(s1→×s2→)||s1→×s2→|$$d=\frac{|\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot (\overrightarrow{s_1}\times \overrightarrow{s_2})|}{|\overrightarrow{s_1}\times \overrightarrow{s_2}|}$$

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