素数分布 2：素数定理

　

素数定理

素数分布：素数定理

研究素数素数的个数问题，$\pi \left(x\right)$π(x)表示不超过$x$x的素数的个数。

从	到	素数个数	从	到	素数个数
1	100	25	1	1000	168
101	200	21	1001	2000	135
201	300	16	2001	3000	127
301	400	16	3001	4000	120
401	500	17	4001	5000	119
501	600	14	5001	6000	114
601	700	16	6001	7000	117
701	800	14	7001	8000	107
801	900	15	8001	9000	110
901	1000	14	9001	10000	112

高斯通过大量的计算，建议使用$\frac{1}{\log t}$logt1​表示整数$x$x附近的素数分布的平均密度，使用${\int }_2^x\frac{dt}{\log t}$∫2x​logtdt​渐进表示$\pi \left(x\right)$π(x)。

$x$x	$\pi \left(x\right)$π(x)	$\frac{x}{\log x}$logxx​
1000	168	145
10000	1229	1086
100000	9592	8686
1000000	78498	72382
10000000	664579	620417

定理 素数定理：

$\underset{}{\lim }\frac{\pi \left(x\right)}{\frac{x}{\log x}}=1$x→∞lim​logxx​π(x)​=1

1896年阿达玛和瓦莱$\cdot$⋅泊桑独立证明了素数定理，但都使用了精深的复变函数论方法。直到1949年爱多士和薛尔伯格给出初等证明。

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