「泊松分布」通俗理解泊松分布

泊松分布

1.甜在心馒头店

公司楼下有家馒头店：

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每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？

老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据）：

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均值为:

$\overset{ˉ}{X} = \frac{3 + 7 + 4 + 6 + 5}{5} = 5 \bar{X}=\frac{3+7+4+6+5}{5}=5$ Xˉ=53+7+4+6+5=5

按道理讲均值是不错的选择，但是如果每天准备5个馒头的话，从统计表来看，至少有两天不够卖，40% 的时间不够卖：

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你“甜在心馒头店”又不是小米，搞什么饥饿营销啊？老板当然也知道这一点，就拿起纸笔来开始思考。

2. 老板的思考

老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用T来表示:

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然后把周一的三个馒头（“甜在心馒头”，有褶子的馒头）按照销售时间放在线段上：

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把 T 均分为四个时间段：

此时，在每一个时间段上，要不卖出了（一个）馒头，要不没有卖出：

在每个时间段，就有点像抛硬币，要不是正面（卖出），要不是反面（没有卖出）：

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T内卖出3个馒头的概率，就和抛了4次硬币（4个时间段），其中3次正面（卖出3个）的概率一样了。

这样的概率通过二项分布来计算就是:

$C_{4}^{3} p^{3} (1 - p)^{1} C_4^3p^3(1-p)^1$ C43p3(1−p)1

但是，如果把周二的七个馒头放在线段上，分成四段就不够了：

从图中看，每个时间段，有卖出3个的，有卖出2个的，有卖出1个的，就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。

解决这个问题也很简单，把 T 分为20个时间段，那么每个时间段就又变为了抛硬币：

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这样，T内卖出7个馒头的概率就是（相当于抛了20次硬币，出现7次正面）

$C_{20}^{7} p^{7} (1 - p)^{13} C_{20}^7p^7(1-p)^{13}$ C207p7(1−p)13

为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”，干脆把时间切成 n 份:

$C_{n}^{7} p^{7} (1 - p)^{n - 7} C_{n}^7p^7(1-p)^{n-7}$ Cn7p7(1−p)n−7

越细越好，用极限来表示：

$\lim_{n \to + \infty} C_{n}^{7} p^{7} (1 - p)^{n - 7} {\lim\ limit s_{n\to+\infty}}C_{n}^7p^7(1-p)^{n-7}$ n→+∞limCn7p7(1−p)n−7

更抽象一点，T 时刻内卖出 k 个馒头的概率为：

$\lim_{n \to + \infty} C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k} {\lim\limits_{n\to+\infty}}C_{n}^kp^k(1-p)^{n-k}$ n→+∞limCnkpk(1−p)n−k

3.p的计算

“那么”，老板用笔敲了敲桌子，“只剩下一个问题，概率 p 怎么求？”

在上面的假设下，问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为：

$E (X) = n p = μ E(X)=np=\mu$ E(X)=np=μ

那么:

$p = \frac{μ}{n} p=\frac{\mu}{n}$ p=nμ

4.泊松分布

有了 $p = \frac{μ}{n} p=\frac{\mu}{n}$ p=nμ了之后，就有：

$\lim_{n \to \infty} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} = \lim_{n \to \infty} (\binom{n}{k}) {(\frac{μ}{n})}^{k} (1 - \frac{μ}{n})^{n - k} \lim\limits_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\lim\limits_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}$ n→∞lim(kn)pk(1−p)n−k=n→∞lim(kn)(nμ)k(1−nμ)n−k

我们来算一下这个极限：

$\begin{matrix} \lim_{n \to \infty} (\binom{n}{k}) {(\frac{μ}{n})}^{k} (1 - \frac{μ}{n})^{n - k} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1)}{k!} \frac{μ^{k}}{n^{k}} {(1 - \frac{μ}{n})}^{n - k} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{μ^{k}}{k!} \frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \dots \frac{n - k + 1}{n} {(1 - \frac{μ}{n})}^{- k} {(1 - \frac{μ}{n})}^{n} \end{matrix} \begin{array}{l l l}
\lim\limits_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k} \\
\\
= \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{\mu^k}{n^k}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{n-k} \\
\\
= \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\mu^k}{k!}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{-k}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^n
\end{array}$ n→∞lim(kn)(nμ)k(1−nμ)n−k=n→∞limk!n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)nkμk(1−nμ)n−k=n→∞limk!μknn⋅nn−1⋯nn−k+1(1−nμ)−k(1−nμ)n

其中

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \dots \frac{n - k + 1}{n} {(1 - \frac{μ}{n})}^{- k} = 1 \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{-k}=1$ n→∞limnn⋅nn−1⋯nn−k+1(1−nμ)−k=1
$\lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{μ}{n})}^{n} = e^{- μ} \lim\limits_{n \to \infty}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^n = e^{-\mu}$ n→∞lim(1−nμ)n=e−μ

所以：

$\lim_{n \to \infty} (\binom{n}{k}) {(\frac{μ}{n})}^{k} (1 - \frac{μ}{n})^{n - k} = \frac{μ^{k}}{k!} e^{- μ} \lim\limits_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}$ n→∞lim(kn)(nμ)k(1−nμ)n−k=k!μke−μ

上面就是泊松分布的概率密度函数，也就是说，在 T 时间内卖出 k 个馒头的概率为：

$P (X = k) = \frac{μ^{k}}{k!} e^{- μ} P(X=k)=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}$ P(X=k)=k!μke−μ

一般来说，我们会换一个符号，让 $μ = λ \mu=\ lambda$ μ=λ ，所以：

$P (X = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ P(X=k)=k!λke−λ

这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数.

5.馒头店的问题的解决

老板依然蹙眉，不知道 $μ \mu$ μ啊？

没关系，刚才不是计算了样本均值：

$\overline{X} = 5 \overline{X}=5$ X=5

可以用它来近似：

$\overline{X} \approx μ \overline{X}\ APP rox\mu$ X≈μ

于是：

$P (X = k) = \frac{5^{k}}{k!} e^{- 5} P(X=k)=\frac{5^k}{k!}e^{-5}$ P(X=k)=k!5ke−5

画出概率密度函数的曲线就是：

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可以看到，如果每天准备8个馒头的话，那么足够卖的概率就是把前8个的概率加起来：

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这样 93% 的情况够用，偶尔卖缺货也有助于品牌形象。

老板算出一脑门的汗，“那就这么定了！”

6.二项分布与泊松分布

鉴于二项分布与泊松分布的关系，可以很自然的得到一个推论，当二项分布的p很小的时候，两者比较接近：

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通俗理解泊松分布

泊松分布

1.甜在心馒头店

2. 老板的思考

3.p的计算

4.泊松分布

5.馒头店的问题的解决

6.二项分布与泊松分布

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