卷积公式的理解

　

卷积公式

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卷积公式的由来

• 卷积公式与Laplace变换的联系

  Laplace变换公式：

  $$\begin{gathered} F\left(s\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(t\right)e^{-st}\text{d}t \\ G\left(s\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}g\left(t\right)e^{-st}\text{d}t \end{gathered}$$F(s)=∫0∞​f(t)e−stdtG(s)=∫0∞​g(t)e−stdt

  我们希望$C\left(s\right)=F\left(s\right)G\left(s\right)$C(s)=F(s)G(s)也可以保持Laplace变换公式的形式：

  $C\left(s\right)=F\left(s\right)G\left(s\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}c\left(t\right)e^{-st}\text{d}t$C(s)=F(s)G(s)=∫0∞​c(t)e−stdt

  $c\left(t\right)\mathrm{与}f\left(t\right)\mathrm{、}g\left(t\right)$c(t)与f(t)、g(t)的关系就是卷积：

  $c\left(t\right)=f\left(t\right)\ast g\left(t\right)$c(t)=f(t)∗g(t)

• 卷积公式推导

  基于laplace变换公式，可以得知

  $$\begin{gathered} F\left(s\right)G\left(s\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(u\right)e^{-su}\text{d}u{\int }_0^{\mathrm{\infty }}g\left(v\right)e^{-sv}\text{d}v \\ ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(u\right)g\left(v\right)e^{-s(u+v)}\text{d}u\text{d}v \end{gathered}$$F(s)G(s)=∫0∞​f(u)e−sudu∫0∞​g(v)e−svdv=∫0∞​∫0∞​f(u)g(v)e−s(u+v)dudv

  上式中二重积分的积分区域为$(u,v)$(u,v)坐标轴的第一象限，令$t=u+v$t=u+v，$u=u$u=u ，可以确定$u$u的积分范围为$[0,t]$[0,t]，$t$t的积分范围为$[0,\mathrm{\infty }]$[0,∞]。对微分进行变换

  $\text{d}u\text{d}v=\frac{\mathrm{\partial }(u,v)}{\mathrm{\partial }(u,t)}\text{d}u\text{d}t$dudv=∂(u,t)∂(u,v)​dudt

  jacobian行列式的计算

  $\frac{\mathrm{\partial }(u,v)}{\mathrm{\partial }(u,t)}=\mid \begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\partial }\left(u\right)}{\mathrm{\partial }\left(u\right)}& \frac{\mathrm{\partial }\left(u\right)}{\mathrm{\partial }\left(t\right)}\\ \frac{\mathrm{\partial }\left(v\right)}{\mathrm{\partial }\left(u\right)}& \frac{\mathrm{\partial }\left(v\right)}{\mathrm{\partial }\left(t\right)}\end{array}\mid =\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\mid =1$∂(u,t)∂(u,v)​=∣∣∣∣∣​∂(u)∂(u)​∂(u)∂(v)​​∂(t)∂(u)​∂(t)∂(v)​​∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣​1−1​01​∣∣∣∣​=1

  即

  $$\begin{gathered} F\left(s\right)G\left(s\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{t}f\left(u\right)g(t-u)e^{-st}\text{d}u\text{d}t \\ ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}{\int }_0^{t}f\left(u\right)g(t-u)\text{d}u\text{d}t \end{gathered}$$F(s)G(s)=∫0∞​∫0t​f(u)g(t−u)e−stdudt=∫0∞​e−st∫0t​f(u)g(t−u)dudt

  可以得到卷积公式

  $c\left(t\right)=f\left(t\right)\ast g\left(t\right)={\int }_0^{t}f\left(u\right)g(t-u)\text{d}u$c(t)=f(t)∗g(t)=∫0t​f(u)g(t−u)du

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