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原码,反码,补码详解及原理

时间:2019-10-18 14:15:42来源:IT技术作者:seo实验室小编阅读:78次「手机版」
 

原码反码补码

原码

(1) 原码:在数值前直接加一符号位的表示法。

例如: 符号位 数值位

byte的取值范围

[+7]原= 0 0000111 B[-7]原= 1 0000111 B

注意:

byte的取值范围是-27~ 27-1 总计256个数

即:

无符号位 0~255 (因为计算机是从0开始计算的而不是1)

有符号位 -128 ~ +127

反码

浮点表示方法

(2)反码:正数:正数的反码与原码相同。负数:负数的反码,符号位为“1”,数值部分按位取反。例如: 符号位 数值位

[+7]反= 0 0000111 B

[-7]反= 1 1111000 B

注意:1000 0000 B 不等于0 而是 -128

+127 +1 = -128

即 0111 1111 B+1 = 1000 0000 B

也就是发生了 byte值溢出

8位二进制反码的表示范围:-127~+127

为什么 -128 的二进制会是1000 0000;

1000 0000 (原) = 1111 1111(反)

那么问题来了: 64+32+16+8+4+2+1 = 127 为什么会有128呢?

原来 负数的反码是需要补码来计算的,也就是在最后得出的结果上 +1

注意:计算机中只有 +0 而不存在 -0的说法,因为-0是完全没有意义的存在,

即:只有 0000 0000 = +0

而没有 1000 0000 = -0

1000 0000的真实身份是 -128

补码

(3)补码的表示方法

1)模的概念:把一个计量单位称之为模或模数。例如,时钟是以12进制进行计数循环的,即以12为模。在时钟上,时针加上(正拨)12的整数位或减去(反拨)12的整数位,时针的位置不变。14点钟在舍去模12后,成为(下午)2点钟(14=14-12=2)。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时,也可看成从0点出发顺时针拨2格(加上2小时),即2点(0-10=-10=-10+12=2)。因此,在模12的前提下,-10可映射为+2。由此可见,对于一个模数为12的循环系统来说,加2和减10的效果是一样的;因此,在以12为模的系统中,凡是减10的运算都可以用加2来代替,这就把减法问题转化成加法问题了(注:计算机的硬件结构中只有加法器,所以大部分的运算都必须最终转换为加法)。10和2对模12而言互为补数。

同理,计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制(假设字长为8),因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出,又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模,显然,8位二进制数,它的模数为2^8=256。在计算中,两个互补的数称为“补码”。

2)补码的表示:

正数:正数的补码和原码相同。

负数:负数的补码则是符号位为“1”。并且,这个“1”既是符号位,也是数值位。数值部分按位取反后再在末位(最低位)加1。也就是“反码+1”。

例如: 符号位 数值位

[+7]补= 0 0000111 B

[-7]补= 1 1111001 B

补码在微型机中是一种重要的编码形式,请注意:

a. 采用补码后,可以方便地将减法运算转化成加法运算,运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值,而负数的补码的数值部分却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算,所得结果仍为补码。

b. 与原码、反码不同,数值0的补码只有一个,即 [0]补=00000000B。

c. 若字长为8位,则补码所表示的范围为-128~+127;进行补码运算时,应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。

转换

由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同,不需转换。

在此,仅以负数情况分析。

(1) 已知原码,求补码。

例:已知某数X的原码为10110100B,试求X的补码和反码。

解:由[X]原=10110100B知,X为负数。求其反码时,符号位不变,数值部分按位求反;求其补码时,再在其反码的末位加1。

1 0 1 1 0 1 0 0 原码

1 1 0 0 1 0 1 1 反码,符号位不变,数值位取反

1 +1

1 1 0 0 1 1 00 补码

故:[X]补=11001100B,[X]反=11001011B。

(2) 已知补码,求原码。

分析:按照求负数补码的逆过程,数值部分应是最低位减1,然后取反。但是对二进制数来说,先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的,故仍可采用取反加1 有方法。

例:已知某数X的补码11101110B,试求其原码。

解:由[X]补=11101110B知,X为负数。

采用逆推法

1 1 1 0 1 1 1 0 补码

1 1 1 0 1 1 0 1 反码(末位减1)

1 0 0 1 0 0 1 0 原码(符号位不变,数值位取反)

示例:

请大家来做两个题目:有符号数运算时的溢出问题

两正数相加怎么变成了负数???

1)(+72)+(+98)=?

0 1 0 0 1 0 0 0 B +72

0 1 1 0 0 0 1 0 B +98

1 0 1 0 1 0 1 0 B -86

两负数相加怎么会得出正数???

2)(-83)+(-80)=?

1 0 1 0 1 1 0 1 B -83

1 0 1 1 0 0 0 0 B -80

0 1 0 1 1 1 0 1 B +93

思考:这两个题目,按照正常的法则来运算,但结果显然不正确,这是怎么回事呢?

答案:这是因为发生了溢出。

如果计算机的字长为n位,n位二进制数的最高位为符号位,其余n-1位为数值位,采用补码表示法时,可表示的数X的范围是 -2的n-1次幂≤X≤2的n-1次幂-1

当n=8时,可表示的有符号数的范围为-128~+127。两个有符号数进行加法运算时,如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时,就会发生溢出,使计算结果出错。很显然,溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。

对于加法运算,如果次高位(数值部分最高位)形成进位加入最高位,而最高位(符号位)相加(包括次高位的进位)却没有进位输出时,或者反过来,次高位没有进位加入最高位,但最高位却有进位输出时,都将发生溢出。因为这两种情况是:两个正数相加,结果超出了范围,形式上变成了负数;两负数相加,结果超出了范围,形式上变成了正数。

而对于减法运算,当次高位不需从最高位借位,但最高位却需借位(正数减负数,差超出范围),或者反过来,次高位需从最高位借位,但最高位不需借位(负数减正数,差超出范围),也会出现溢出。

在计算机中,数据是以补码的形式存储的,所以补码在C语言的教学中有比较重要的地位,而讲解补码必须涉及到原码、反码。

在n位的机器数中,最高位为符号位,该位为零表示为正,为一表示为负;其余n-1位为数值位,各位的值可为零或一。当真值为正时,原码、反码、补码数值位完全相同;当真值为负时,原码的数值位保持原样,反码的数值位是原码数值位的各位取反,补码则是反码的最低位加一。注意符号位不变。

思考:

为什么在计算机中,负数用补码表示呢?为什么不直接用原码表示?

 1、表示范围

拿单字节整数来说,无符号型,其表示范围是[0,255],总共表示了256个数据。有符号型,其表示范围是[-128,127]。

先看无符号,0表示为0000 0000,255表示为1111 1111,刚好满足了要求,可以表示256个数据。

再看有符号的,若是用原码表示,0表示为0000 000。因为咱们有符号,所以应该也有个负0(虽然它还是0):1000 0000。

那我们看看这样还能够满足我们的要求,表示256个数据么?

正数,没问题,127是0111 1111,1是0000 0001,当然其它的应该也没有问题。

负数呢,-1是1000 0001,那么把负号去掉,最大的数是111 1111,也就是127,所以负数中最小能表示的数据是-127。

这样似乎不太对劲,该如何去表示-128?貌似直接用原码无法表示,而我们却有两个0。

如果我们把其中的一个0指定为-128,不行么?这也是一个想法,不过有两个问题:一是它与-127的跨度过大;二是在用硬件进行运算时不方便。

所以,计算机中,负数是采用补码表示。

如   单字节-1,原码为1000 0001,反码为1111 1110,补码为1111 1111,计算机中的单字节-1就表示为1111 1111。

单字节-127,原码是1111 1111,反码1000 0000,补码是1000 0001,计算机中单字节-127表示为1000 0001。

  单字节-128,原码貌似表示不出来,除了符号为,最大的数只能是127了,其在计算机中的表示为1000 0000。

2、大小的习惯(个人观点)

也可以从数据大小上来理解。还是以单字节数据为例。有符号数中,正数的范围是[1,127],最大的是127,不考虑符号为,其表示为111 1111;最小的是1,不考虑符号为,其表示为000 0001。

负数中,最大的是-1,我们就用111 1111表示其数值部分。后面的数据依次减1。减到000 0001的时候,我们用它标示了-127。再减去1,就变成000 0000了。还好我们有符号为,所以有两个0。把其中带符号的0拿过来,表示-128,刚好可以满足表示范围。

   以上只是从软件的角度进行了分析,当然,从硬件的角度出发,负数使用补码表示也是有其原因的,毕竟计算机中,最终实现运算的还是硬件。

主要原因有三

1>、负数的补码,与其对应正数的补码之间的转换可以用同一种方法----求补运算完成,简化硬件。

                             原码                        反码                   补码

-127     -〉   127      1000 0001   -〉        0111 1110  -〉   0111 1111

   127     -〉  -127      0111 1111   -〉        1000 0000  -〉   1000 0001

-128     -〉   128      1000 0000   -〉        0111 1111  -〉   1000 0000

128      -〉  -128      1000 0000   -〉        0111 1111  -〉   1000 0000

可以发现,负数和正数求补的方法是一样的。

2>、可以将减法变为加法,省去了减法器。

在计算机中,我们可以看到,对其求补,得到的结果是其数值对应的负数。同样,负数也是如此。

运算中,减去一个数,等于加上它的相反数,这个小学就学过了。既然其补码就是其相反数,我们加上其补码不就可以了。

如:A - 127,

也就相当于:A + (-127),

又因为负数是以补码的形式保存的,也就是负数的真值是补码,既然这样,当我们要减一个数时,直接把其补码拿过来,加一下,就OK了,我们也可以放心地跟减法说拜拜了!

当然这也涉及到类型转换的问题,如单字节128,其原码是1000 0000,其补码也是1000 0000。这样我们+128,或者-128,都是拿1000 0000过来相加,这样不混乱掉了?还好,各个编程语言的编辑器对有类型转换相关的限制。

如:(假设常量都是单字节)

1 + 128, 真值的运算是 0000 0001 + 1000 0000 ,如果你将结果赋值给一个单字节有符号正数,编辑器会提示你超出了表示范围。因为运算的两个数据是无符号的,其结果也是无符号的129,而有符号单字节变量最大可以表示的是127。

1 - 128,真知的运算是 0000 0001 + 1000 0000 ,因为-128是有符号,其运算结果也是有符号,1000 0001,刚好是-127在计算机中的真值。

3>、无符号及带符号的加法运算可以用同一电路完成。

有符号和无符号的加减,其实都是把它们的真值拿过来相加。真值,也就是一个数值在计算机中的二进制表示。正数的真值就是其原码,负数的真值是其补码。所以,有符号和无符号由编译器控制,计算机要做的不过是把两个真值拿过来相加。

节选来源:http://blog.chinaunix.net/uid-26495963-id-3074603.html

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