数学竞赛
【本文最后更新日期：2018年9月27日】
笔者作为一名工科生参加了第五届、第六届、第七届全国大学生数学竞赛，三次获得非数学类预赛一等奖。于2015年被选拔参加第六届全国大学生数学竞赛决赛，获得非数学类决赛一等奖。在接下来的篇幅中，笔者将结合自身经历，先后就数学基础的重要性、竞赛的难度与参赛动机、备赛方法（含参考书目）以及如何提升学习兴趣来浅谈自己的经验和体会。
竞赛简介：全国大学生数学竞赛（The Chinese Mathematics Competitions, CMC）是一项全国性高水平学科竞赛，从2009年起每年举办一次，主要参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。CMC分为数学类和非数学类。其中数学类竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容（数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%）；非数学类竞赛内容为理工科专业高等数学课程的教学内容，从第五届比赛开始，非数学类决赛增加15%－20%的线性代数的内容。CMC分为预赛和决赛进行，其中分区预赛由各省数学会负责组织，使用全国统一试题在同一时间内进行考试，决赛由全国大学生数学竞赛工作小组和承办单位负责组织实施。
一、数学基础在工科领域的重要性
官方给出的CMC的举办目的是“激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。”坦言，在当今高等院校扩大招生的背景下，大部分高校的学习氛围往往不够浓厚。尤其是对于刚刚走过高中、迈过高考的本科一年级同学而言，大学的学习压力较小，学习环境较自由，部分缺乏自律意识的同学容易将注意力从课程学习转移至其他更有吸引力的领域，因而轻视对于大学数学课程的学习。而大部分高校工科的教学计划都是将高数、线代、概率等课程放到大一阶段进行学习，并且作为研究生入学考试的考查内容，这凸显了数学对于工科的专业课程以及后续科学研究的重要性。
笔者结合自身体会，在这里做一个形象的类比。我们可以将本科阶段的课程学习以及后续的科研工作看作是修炼各种各样的武功，各类考试或者发表学术论文可以看作是一场场的“华山论剑”，而数学在这个过程中起到的作用更像是九阳神功、乾坤大挪移之类的内功心法。有些同学在入学时注重数学的学习，练就了深厚的“内功修为”，因而可以像张无忌那样在修炼各类“外家功夫”时很快地理解其本质，把握其精髓。而那些内功修为不够深厚的同学通常会随着“练功”的不断深入显现出后劲不足，从而遇到瓶颈。因此，如果想要继续深造或者从事学术科研相关的工作，一个好的数学基础可以让很多模型看上去理所当然，让公式看上去不那么晦涩难懂。
二、竞赛难度与参赛动机
对于非数学类的同学而言，全国大学生数学竞赛基本上就是高等数学的比赛（预赛只考高数，决赛考一部分线代）。笔者认为，高等数学在本科阶段课程中的难度可以排到中上等，可以说是工科生本科阶段很重要又比较有难度的基础课程了。所以计划参加CMC的同学首先要能对本科的高数课程有一个比较好的掌握。如果课堂上的内容还不能熟练掌握，不能保证通过期末考试的话，笔者认为直接抛弃基础而学习CMC是不太明智的选择：一方面，较难的题目往往会综合考察多个知识点或者需要运用一些技巧，基础不牢固则很难从CMC题目中提炼出自己需要学习与改进的点，进而难以取得反馈；另一方面，解题失败的迷茫感和受挫感加以累积会打击学习高数的自信心。只有从基本概念学起，打牢基础，才能融会贯通，进而通过CMC的训练掌握一些常用技巧，获得能力上的提升。
由于参赛人数逐年递增，预赛的获奖难度通常较低。结合笔者3次参赛经历来看，只要基本掌握高数的概念与解题方法，期末考试能够达到良好以上，在进行一段时间的准备之后是很有希望获奖的。当能够熟练掌握高数课程中的各种概念，自如应对高数的课堂练习题与期末测试题时，这个水平已经可以拿到预赛一等奖了。在竞赛试题上评估获奖难度，由于每年题目难度与各个赛区整体水平有差异，很难准确地将分数与获奖等级相对应。结合参赛经验，笔者认为预赛能够做对30%—40%的题目一般可以获奖，能够做对60%以上的题目比较有希望拿一等奖。如果想要进入决赛阶段，通常需要在预赛中取得赛区前10名的成绩，这可能要求预赛要做对80%甚至90%以上的题目。如果不是拥有较高的天赋或者悟性的话，这通常需要大量的练习和考试时的一点“运气”。在这里，我们不妨先探讨一下参加CMC的动机，从而针对不同类型的参赛动机提出不同的建议。
（1）为提高自己的高数成绩。这类同学通常为正在学习高数的大一本科生或备战考研的大四本科生。因为无论是期末考试还是研究生入学考试，总会有一少部分题目难度较大，以增加试题的区分度。如果在学习高数时感到学有余力，能够自如应对平时的课后练习题，可以拿预赛题来进行进阶练习，以提高自己的高数解题能力。如果在平时的练习中能够较为熟练地解决半数以上的预赛试题，则有较大的希望能够在CMC预赛中获得一等奖。
（2）为在综合测评中获得额外加分。现阶段本科教育，学术与科创竞赛在学生的综合测评中往往占据一定的比例，而综合测评成绩通常是评定奖学金、推免保送的重要依据。如果单纯从“性价比”的角度来考虑，数学基础较好的同学每年都参加一下CMC，复习一段时间争取一个预赛一等奖是一个不错的选择。若想进入决赛阶段，则通常需要付出较多的努力，此时的建议则应该根据每个人的实际情况来确定。
（3）对CMC具有纯粹的兴趣，想结合自己的特长在这个舞台上展现自己。此类同学能够在CMC的备赛中找到乐趣，此时建议由易到难进行学习，首先应顾及到全面性，因为预赛一般不会考察大量特别难的题目，大部分题目的难度在考研真题中的难题程度或者再难一点。如果能够进入决赛阶段，则需要对备赛的难度和要求进行整体提升，且需要复习线性代数的相关内容来应对决赛。
（4）其他动机。例如学校鼓励参赛，从众参赛等。建议根据自身实际情况确定备赛策略。
三、备赛方法
（1）推荐参考书目
随着近年来参赛人数的增多，CMC的参考书目也在一直更新，其中肯定不乏优秀的参考书。读者们可以更多地去调查和寻找适合自己的参考书。在这里，笔者将自己在备赛阶段（2013年-2015年）使用过的参考书列举并推荐如下：
《大学生数学竞赛试题解析选编》
推荐指数：★★★★★
难度指数：★★★★☆
适合阶段：预赛 + 决赛
评价：该书以试题集的形式编成，无章节划分，收录了北京市大学生数学竞赛和全国大学生数学竞赛的试题与解答。大部分题目质量较高，难度合理，且题目风格与CMC的风格很相近，适合于有一定基础、志在冲击预赛一等奖以及冲击决赛的同学进行进阶练习。该书收录的北京市大学生数学竞赛试题多次命中CMC预赛和决赛的赛题。因为该书以试题集的形式编成，所以内容相对缺乏系统性与全面性，需要配合一本按章节编成的辅导书使用。
《大学生数学竞赛试题 研究生入学考试难题 解析选编》
推荐指数：★★★★★
难度指数：★★★☆☆
适合阶段：预赛
评价：该书内容较第一本书少了部分北京市大学生数学竞赛以及CMC的试题，多了部分考研难题，且题目与第一本书有重叠，难度较第一本书低，适合于想借助参加CMC来巩固自身数学基础，复习考研数学，没有进决赛打算的同学。本书对于预赛的备赛具有较大的参考价值，由于是以试题集的形式编成，因而需要配合一本按章节编成的辅导书使用。
《全国大学生数学竞赛复习全书》
推荐指数：★★★★★
难度指数：★★★★☆
适合阶段：决赛
评价：该书最大的参考价值在于其包含非数学类决赛阶段考察的线性代数（在几年前，包含线性代数的CMC参考资料还是相对较少的），书中内容按照章节编成，题目具有较大的参考价值。
《全国大学生数学竞赛辅导指南》
推荐指数：★★★★☆
难度指数：★★★☆☆
适合阶段：预赛
评价：该书整体难度相对较低，内容按章节编成，题目范围全面但是相对缺乏技巧性与深度，适合CMC的初学者参考使用，目标为冲击预赛一等奖及以上者，建议不要仅仅局限于本书的内容。
《吉米多维奇 高等数学习题精选精解》
推荐指数：★★★☆☆
难度指数：★★☆☆☆
适合阶段：期末考试 + 考研 + 预赛
评价：该书整体难度较低，内容按章节编成，题目数量较多，覆盖范围全面，适合于高等数学的初学者用来复习期末考试、研究生入学考试以及CMC预赛。该书主要用于回顾基础知识点与解题方法。目标为冲击预赛一等奖及以上者，建议不要仅仅局限于本书的内容。
《大学生数学竞赛习题精讲》
推荐指数：★★☆☆☆
难度指数：★★★★☆
适合阶段：预赛
评价：该书题目风格与大学生数学竞赛的风格不太相符，里面有一些题目较偏，且习题讲解较少，参考价值较之前几本辅导书较弱，供学有余力的同学参考。
相关试题资料还可以参考“中国大学生数学竞赛官网”、“圣才学习网”、“考研竞赛数学微信公众号”等网站或平台。附1-9届CMC非数学类预赛与决赛真题解答及竞赛大纲pdf版本的下载地址。
（2）备赛策略
由于每个人的数学基础和参赛目标都不尽相同，很难去找到一个适用于所有人的备赛复习方法。在这里，笔者针对不同水平的同学，分三个阶段介绍一下自己的方法与经验：
阶段1——“利剑”阶段
结合竞赛大纲，系统复习学过的所有高等数学的知识，全面掌握基本方法，深刻理解基本概念，目标是使自身水平达到期末考试的优秀水平，且能够做出预赛一半的题目。达到该阶段的目标相对容易，水平相对较弱的同学可以在该阶段的复习备赛中较大地提升自身的高数水平。该阶段可以参考教科书、吉米多维奇（推荐书目第五本）或者CMC指南（推荐书目第四本）。如果参赛目标为在预赛中“保三争一”的话，做到阶段1问题就不大了。
阶段2——“重剑”阶段
如果参赛目标为“保一争决”，则需要在阶段1的基础上，进一步锻炼解题能力。CMC中的证明题（尤其是一元函数的证明题）是一个难点，有很多构造性的证明很难想到，这就需要进行大量的真题模拟题训练。此阶段适合使用“红色试题集”（推荐书目第一本），而且要练到手熟（即只要是知道如何求解或证明，就一定可以无误地写出来）。对于某些技巧性较强的题目，即使做过一遍且当时理解之后，过段时间还会遗忘，这就需要反复地进行复习，直到能够将某类题目的解题方法尽数列举出来为止。经过阶段2的训练，最终应达到“预赛试题中不多于2道大题不能完全做出来”的水平。
阶段3——“木剑”阶段
此阶段适合具有较好数学基础和素养、达到阶段2目标的同学。如果此类同学想要进一步提升自己的能力，冲击决赛的话，则需要进行更广泛的涉猎与拓展。此时就应当广泛阅读各类参考书目（笔者仅阅读了本文的推荐书目，学有余力的同学可以自行寻找更合适的书目），但是不必追求每一个题都要亲自写出来（会限制刷题速度），而是去浏览和思考，通过题目思考此题的解题思路（因为通过阶段2的训练，可以达到“一个题只要有思路就可以做对”的水平），而后和答案思路进行对照，获取反馈并取得进步。如果没有思路，则此题便会开拓认知领域，进而可以划归到阶段2对此题进行巩固训练。
笔者不建议越过阶段2直接进入阶段3，否则虽然可以刷到很多题目，但是难以将收获沉淀，且会因为手生导致有思路的题也无法正确严谨地解答，造成“看起来都会，做起来不对”的问题，对个人水平的提升有限。
四、如何培养学习CMC的兴趣
学习（尤其是数学的学习）在很多人看来是枯燥而痛苦的过程，如何才能培养对于CMC（或者是其他科目）学习的兴趣呢？
笔者认为，兴趣首先建立在能够较好地应对某一领域的问题，并且能够在解决问题的过程中获得收获感、成就感等正反馈之上。玩游戏是如此，学习CMC亦是如此。对于玩游戏而言，往往能够通过较短的时间获得成就感（游戏一般不会太难上手，也会根据玩家的不同水平匹配不同程度的对手），而且游戏的收获（金币、等级、经验值等）往往是显性的，这样的“快反馈”机制让玩家能够迅速看到自己的收获与进步，从而吸引了众多的玩家。而对于学习CMC（其他课程也是如此）而言，水平提升的周期要长很多，且练习过程中的收获往往是隐性的（水平难以量化），除了获奖后的喜悦，人们很长时间内很难找到能够激励自己的兴趣点。因此培养学习的兴趣往往需要从建立良好的自我正反馈机制着手。
笔者认为，CMC可以看作是如同求解棋局一样的智力游戏。要想真正地看懂“棋局”（题目），就要深刻理解基本的“行棋规则”（各种概念、定理），而且要对已有的“棋谱”（例题）做必要的储备。上一章节所讲的备赛方法的“利剑”阶段就是“行棋规则”的了解阶段，“重剑”阶段就是“棋谱”的积累阶段。只有通过这两个阶段的学习，才能真正理解“棋魂”，否则面对各种杂乱的棋局只有迷茫，根本无法领会到“妙手”的精妙之处。相反，在具有了较好的基础以及足够多的储备之后，就能够真正地看懂题目，理解题目的“题魂”，甚至开发出自己的“妙手”或“绝招”，获得收获感与成就感。当然，大家在面对某些题目时还是会因为思路打不开而无法求解，如果此时得到“高人”的指点或者翻看“秘籍”，则有可能就会学到破解本题的招式。有些破解方法有时真的可以让人拍案叫绝，而这种“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”的经历可以给人带来愉悦满足之感。这些收获感、成就感以及满足感就是学习CMC的源动力所在。
笔者认为，只要找到自己在一个领域的兴趣点，努力的过程中就会时刻有快乐伴随。无论从事什么行业，只要在工作中建立良好的正反馈机制，就会在享受的过程中取得进步。因为热爱，所以坚持，希望参赛的同学能够有所收获，取得理想的成绩！
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