「拉普拉斯变换」拉普拉斯变换拾遗

拉普拉斯变换

1、前言

因笔者学生时代，复变函数相关课程，学得并不认真，以致于工作后，阅读相关论文时，遇到拉普拉斯变换时，常不知所言，遂心生“负师友规训之德”的愧意，于是重新记录下拉普拉斯变换的学习历程。供自己闲时温故。

2、拉普拉斯变换

2.1 定义

设函数 $f (t) 当 t \geq 0 f(t)当t\geq0$ f(t)当t≥0时有定义，且广义积分

$\int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- s t} d t \int _0 ^{+\infty} f(t) e^{-st} dt$ ∫0+∞f(t)e−stdt

在s的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为s的函数

$\begin{matrix} (式1) & F (s) = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- s t} d t \end{matrix} F(s)=\int _0 ^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \tag{式1}$ F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt(式1)

叫做函数 $f (t) f(t)$ f(t)的拉普拉斯变换，F(s)也可称做f(t)的象函数。

2.2 算子

$f (t) ⟶ F (s) f(t)\longrightarrow F(s)$ f(t)⟶F(s)

$\frac{d f (t)}{d t} ⟶ s F (s) \frac {d f(t)}{dt} \longrightarrow sF(s)$ dtdf(t)⟶sF(s)

2.3 RLC无源网络

如下图是由电阻R、电感L、电容C组成的无源网络

在这里插入图片描述其输入输出关系的微分方程为：

$L C \frac{d^{2} u_{o} (t)}{d t^{2}} + R C \frac{d u_{o} (t)}{d t} + u_{o} (t) = u_{i} (t) LC \frac {d^2 u_o(t)}{dt^2} + RC \frac {d u_o(t)}{dt} +u_o(t) =u_i(t)$ LCdt2d2uo(t)+RCdtduo(t)+uo(t)=ui(t)

对上式进行拉普拉斯变换得到:

$L [\frac{d u_{o} (t)}{d t}] = s U_{o} (s) - u_{o} (0) L[ \frac {d u_o(t)}{dt} ] = sU_o(s) -u_o(0)$ L[dtduo(t)]=sUo(s)−uo(0)

$L [\frac{d^{2} u_{0} (t)}{d t^{2}}] = s^{2} U_{o} (s) - s u_{o} (0) - u_{o}^{^{'}} (0) L[ \frac {d^2 u_0(t)}{dt^2} ] = s^2U_o(s) -s u_o(0)-u_o^{'}(0)$ L[dt2d2u0(t)]=s2Uo(s)−suo(0)−uo′(0)

整理可得：

$L C (s^{2} U_{o} (s) - s u_{o} (0) - u_{o}^{^{'}} (0)) + R C (s U_{o} (s) - u_{o} (0)) + U_{o} (s) = U_{i} (s) LC (s^2U_o(s) -s u_o(0)-u_o^{'}(0)) +RC(sU_o(s) -u_o(0))+ U_o(s)=U_i(s)$ LC(s2Uo(s)−suo(0)−uo′(0))+RC(sUo(s)−uo(0))+Uo(s)=Ui(s)

拉普拉斯变换拾遗