math: 雅可比矩阵 黑塞矩阵

　

雅可比矩阵

雅可比矩阵：一个多元函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵

黑塞矩阵：一个多元函数的二阶偏导数以一定方式排列成的矩阵

雅可比矩阵

 

   在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。

定义

            在向量分析中，雅可比矩阵是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。

            

            在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。

   它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；英文雅可比行列式"jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。

    假设某函数从  映到   ， 其雅可比矩阵是从  到 的线性映射，其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。 假设 是一个从n维欧氏空间映射到到m维欧氏空间的函数。这个函数由m个实函数组成：

 

。这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵：

   此矩阵用符号表示为：

 

，或者

   

 

这个矩阵的第 i行是由梯度函数的转置表示的

   如果p是

 

中的一点，F在 p点可微分，根据高等微积分，

 

是在这点的导数。在此情况下，

 

这个线性映射即F在点p附近的最优线性逼近，也就是说当x足够靠近点p时，我们有：

        

实例

由球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出︰                        

此坐标变换的雅可比矩阵是

 的F函数：

其雅可比矩阵为:

此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。

逆矩阵

根据反函数定理，一个可逆函数（存在反函数的函数）的雅可比矩阵的逆矩阵即为该函数的反函数的雅可比矩阵。若函数

 

在点

 

的雅可比矩阵是连续且可逆的，则F在点 p的某一邻域内也是可逆的，且有

成立。相反，倘若雅可比行列式在某一个点不为零，那么该函数在这个点的某一邻域内可逆（存在反函数）。

一个多项式函数的可逆性与非经证明的雅可比猜想有关。其断言，如果函数的雅可比行列式为一个非零实数（相当于其不存在复零点），则该函数可逆且其反函数也为一个多项式。

黑塞矩阵

黑塞矩阵（Hessian Matrix），又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题，利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数，此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。

定义

在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数。

二元函数的黑塞矩阵

由高等数学知识可知，若一元函数在

 

在

点的某个邻域内具有任意阶导数 ，则

 

在

 

点处的泰勒展开式 ：  

，其中  ，  。二元函数  在  点处的泰勒展开式为：

其中， 。将上述展开式写成矩阵形式，则有：

即：

其中：

 

是

 

在

 

点处的黑塞矩阵。它是由函数

 

在

 

点处的二阶偏导数所组成的方阵。

多元函数的黑塞矩阵

将二元函数的泰勒展开式推广到多元函数，则

 

在

 

点处的泰勒展开式的矩阵形式为： 

其中：

（1） 

 

，它是

 

在

 

点处的梯度。 

（2）

 

为函数

 

在

 

点处的黑塞矩阵

黑塞矩阵是由目标函数

 

在点X处的二阶偏导数组成的

 

阶对称矩阵。

对称性

如果函数

 

在

 

区域内二阶连续可导，那么

 

黑塞矩阵

 

在

 

内为对称矩阵

原因：如果函数

 

的二阶偏导数连续，则二阶偏导数的求导顺序没有区别，即

则对于矩阵

 

，有

 

，所以

 

为对称矩阵。

利用黑塞矩阵判定多元函数的极值

定理

设n多元实函数

 

在点

 

的邻域内有二阶连续偏导，若有：

并且

则有如下结果：

（1）当A正定矩阵时，

 

在

 

处是极小值；

（2）当A负定矩阵时，

 

在

 

处是极大值；

（3）当A不定矩阵时，

 

不是极值点。

（4）当A为半正定矩阵或半负定矩阵时，

 

是“可疑”极值点，尚需要利用其他方法来判定。

实例

求三元函数

 

的极值。

解：因为

 

，故该三元函数的驻点是

 。

又因为

，

故有：

因为A是正定矩阵，故

 

是极小值点，且极小值

。

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