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简述计算机三大变换的联系和区别 (傅里叶变换 拉普拉斯变换 z变换)

时间:2019-10-01 08:44:35来源:IT技术作者:seo实验室小编阅读:57次「手机版」
 

z变换

Q:简述计算机三大变换的联系和区别 (傅里叶变换 拉普拉斯变换 z变换)

(1) 傅里叶变换定义:

表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。傅立叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分,比如正弦波、方波、锯齿波等,傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。

f(t)是t的周期函数,如果t满足狄里赫莱条件:在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点,附f(x)单调或可划分成有限个单调区间,则F(x)以2T为周期的傅里叶级数收敛,和函数S(x)也是以2T为周期的周期函数,且在这些间断点上,函数是有限值;在一个周期内具有有限个极值点;绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换,

②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数,f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。

①傅立叶变换

 

②傅立叶逆变换

 

(2)拉普拉斯变换定义:

拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换,又名拉氏变换。 拉氏变换是一个线性变换,可将一个有参数实数t(t≥ 0)的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用,特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。

拉普拉斯变换的公式:

拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式

 

(式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。它也是时间函数x(t)的“复频域”表示方式。

(3)Z变换定义:

Z变换(英文:z-transformation)可将时域信号(即:离散时间序列)变换为在复频域的表达式。它在离散时间信号处理中的地位,如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具,在数字信号处理、计算机控制系统等领域有着广泛的应用。

双边Z变换

离散时间序列x[n]的Z变换定义为:

式中  ,σ为实变数,ω为实变量,所以Z是一个幅度为  ,相位为ω的复变量。x[n]和X(Z)构成一个Z变换对。

单边Z变换

通常意义下的Z变换指双边Z变换,单边Z变换只对右边序列(  

部分)进行Z变换。单边Z变换可以看成是双边Z变换的一种特例,对于因果序列双边Z变换与单边Z变换相同。

单边Z变换定义为 :

(4)关系和区别:

傅立叶变换是最基本得变换,由傅里叶级数推导出。傅立叶级数只适用于周期信号,把非周期信号看成周期T趋于无穷的周期信号,就推导出傅里叶变换,能很好的处理非周期信号的频谱。但是傅立叶变换的弱点是必须原信号必须绝对可积,因此适用范围不广。

  拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广,傅立叶变换不适用于指数级增长的函数,而拉氏变换相当于是带有一个指数收敛因子的傅立叶变换,把频域推广到复频域,能分析的信号更广。然而缺点是从拉普拉斯变换的式子中,只能看到变量s,没有频率f的概念,要看幅频响应和相频响应,还得令s=j2πf

  Z变换的本质是离散时间傅里叶变换(DTFT),如果说拉普拉斯变换专门分析模拟信号,那Z变换就是专门分析数字信号,Z变换可以把离散卷积变成多项式乘法,对离散数字系统能发挥很好的作用。Z变换看系统频率响应,就是令Z在复频域的单位圆上跑一圈,即Z=e^(j2πf),即可得到频率响应。由于傅里叶变换的特性“时域离散,则频域周期”,因此离散信号的频谱必定是周期的,就是以这个单位圆为周期,Z在单位圆上不停的绕圈,就是周期重复。单位圆0°位置是实际频率0HZ,单位圆180度的实际频率就是采样频率的一般,fs/2.

总结一下:拉普拉斯变换是傅里叶变换的扩展,傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例,z变换是离散的傅里叶变换在复平面上的扩展。

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