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图的最短路径之迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法

时间:2019-09-30 19:12:14来源:IT技术作者:seo实验室小编阅读:89次「手机版」
 

弗洛伊德算法

文章目录

  • 一、迪杰斯特拉(dijkstra)算法
    • 1、定义描述
    • 2、算法思想
    • 3、算法步骤
    • 4、算法图解
  • 二、弗洛伊德(Floyd)算法
    • 1、定义描述
    • 2、算法思想
    • 3、算法步骤
  • 三、dijkstra算法和Floyd算法的demo:

一、迪杰斯特拉(Dijkstra)算法

1、定义描述

  Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止Dijkstra算法的时间复杂度为O(N^2)。例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径:

这里写图片描述

2、算法思想

  设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

3、算法步骤

  • 将所有的顶点分为两部分:已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始,已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。我们这里用一个book[ i ]数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i,如果book[ i ]为1则表示这个顶点在集合P中,如果book[ i ]为0则表示这个顶点在集合Q中
  • 设置源点s到自己的最短路径为0即dis=0。若存在源点有能直接到达的顶点i,则把dis[ i ]设为e[ s ][ i ]。同时把所有其它(源点不能直接到达的)顶点的最短路径为设为∞。
  • 在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u(即dis[u]最小)加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边,对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边,那么可以通过将边u->v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径,这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小,我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值
  • 重复第3步,如果集合Q为空,算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

4、算法图解

这里写图片描述

这里写图片描述

这里写图片描述

二、弗洛伊德(Floyd)算法

1、定义描述

  Floyd算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理有向图或负权的最短路径问题,同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd算法的时间复杂度为O(N^3)。

这里写图片描述

  上图中有4个城市8条公路,公路上的数字表示这条公路的长短。请注意这些公路是单向的。我们现在需要求任意两个城市之间的最短路程,也就是求任意两个点之间的最短路径。这个问题这也被称为多源最短路径问题。

2、算法思想

  Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话,首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题,我们需要为这个目标重新做一个诠释。

  从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能,1是直接从i到j,2是从i经过若干个节点k到j。所以,我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离,对于每一个节点k,我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立,如果成立,证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短,我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j),这样一来,当我们遍历完所有节点k,Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

3、算法步骤

  • 从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权,如果两点之间没有边相连,则权为无穷大。

  • 对于每一对顶点 u 和 v,看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

三、Dijkstra算法和Floyd算法的demo:

#include <iOStream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int inf = 999999;//不连通的点之间的距离设为无穷大
long long int e[10000][10000];
int dis[10000];//最短距离数组
int book[10000];//记录下哪些点被选中

//计算单点到全部顶点的距离
int Dijkstra(int &n, int &m, int &s, vector<vector<int>> &data, int &t)
{
	//初始化任意两点之间的距离数组
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			if (i == j)
				e[i][j] = 0;
			else
				e[i][j] = inf;
		}
	}
	//把权值加入到任意两点之间的距离数组中
	for (int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		e[data[i - 1][0]][data[i - 1][1]] = data[i - 1][2];
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		if (i != s)
		{
			dis[i] = e[s][i];//记录源点到其余所有点的最短路径
			book[i] = 0;//记录哪些点被选取了
		}
	}
	int u, min;
	for (int i = 1; i <= n - 1; ++i)
	{
		min = inf;
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			if (book[j] == 0 && dis[j] < min)//找到源点离还没有被选取的点中的最近顶点
			{
				min = dis[j];
				u = j;//记录下最近顶点的位置
			}
		}
		book[u] = 1;
		/*
		*例如存在一条从u到v的边,那么可以通过将边u->v添加到尾部来拓展一条从源点到v的路径,
		*这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小,
		*我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。
		*/
		for (int v = 1; v <= n; ++v)
		{
			if (e[u][v] < inf)
			{
				if (dis[v] > dis[u] + e[u][v])
					dis[v] = dis[u] + e[u][v];//松弛
			}
		}
	}
	return dis[t];
}

//计算两两顶点之间的最短路径
void Floyd(int &n, int &m, vector<vector<int>> &data)
{
	//初始化任意两点之间的距离数组
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			if (i == j)
				e[i][j] = 0;
			else
				e[i][j] = inf;
		}
	}
	//把权值加入到任意两点之间的距离数组中
	for (int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		e[data[i - 1][0]][data[i - 1][1]] = data[i - 1][2];
	}
	/*
	*最开始只允许经过1号顶点进行中转,接下来只允许经过1和2号顶点进行中转……允许经过1~n号所有顶点
	*进行中转,求任意两点之间的最短路程。用一句话概括就是:从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。
	*/
	for (int k = 1; k <= n; ++k)
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			for (int j = 1; j <= n; ++j)
				if (e[i][j] > e[i][k] + e[k][j])
					e[i][j] = e[i][k] + e[k][j];
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
			cout << e[i][j] << " ";
		cout << endl;
	}
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
	int n, m, s, t;
	cin >> n >> m >> s >> t;//输入顶点数和边数,以及起止位置
	vector<vector<int>> Path_Cost;
	for (int i = 0; i < m; ++i)
	{
		vector<int> vec;
		int x;
		for (int j = 0; j < n; ++j)
		{
			cin >> x;
			vec.push_back(x);
		}
		Path_Cost.push_back(vec);
	}
	cout << Dijkstra(n, m, s, Path_Cost, t) << endl;
	Floyd(n, m, Path_Cost);
	system("pause");
	return 0;
}

参考:http://blog.51cto.com/ahalei/1383613

https://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html

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